不等式的证明与柯西不等式

选考部分选修系列4高三数学（·理）选考部分选修系列42014届高考一轮数学复习理科课件（人教版）大冶三中明婷高三数学（·理）选修4-5第2课时选修4－5不等式选讲第2课时不等式的证明与柯西不等式高三数学（·理）选修4-5第2课时1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式，能利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.高三数学（·理）选修4-5第2课时不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单应用.请注意！高三数学（·理）选修4-5第2课时高三数学（·理）选修4-5第2课时注：不等式证明的基本方法详见本书第十二章第2,3课时．1．平均值不等式a1＋a2＋…＋ann≥_________≥11a1＋1a2＋…＋1an.na1a2…an高三数学（·理）选修4-5第2课时2．贝努利不等式若x∈R，且x－1，x≠0，n1，n∈N，则(1＋x)n1＋_____.nx高三数学（·理）选修4-5第2课时3．柯西不等式(1)设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥_______.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(i＝1naibi)2高三数学（·理）选修4-5第2课时(2)柯西不等式的向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|.当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．高三数学（·理）选修4-5第2课时4．排序不等式若a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤______________________≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．a1c1＋a2c2＋…＋ancn高三数学（·理）选修4-5第2课时1．已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M、N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定答案B高三数学（·理）选修4-5第2课时解析由已知得0ab1，故M－N＝11＋a＋11＋b－a1＋a－b1＋b＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝21－ab1＋a1＋b0，故MN.高三数学（·理）选修4-5第2课时2．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是()A．339B．1＋22C．6D．7答案D高三数学（·理）选修4-5第2课时3．函数f(x)＝3x＋31－x的最大值＝________.答案6高三数学（·理）选修4-5第2课时解析3x＋31－x＝3x＋3－3x，由柯西不等式得(3x＋3－3x)2≤(12＋12)[(3x)2＋(3－3x)2]＝6，∴3x＋3－3x≤1＋1·3x＋3－3x＝6.高三数学（·理）选修4-5第2课时4．(2011·湖南理)设x，y∈R，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．答案9高三数学（·理）选修4-5第2课时解析(x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋1x2y2≥1＋4＋24x2y2·1x2y2＝9，当且仅当4x2y2＝1x2y2时等号成立，即|xy|＝22时等号成立.高三数学（·理）选修4-5第2课时高三数学（·理）选修4-5第2课时注：综合法、分析法、数学归纳法见本书第七章.例1(2010·江苏理)设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．题型一放缩法证明不等式高三数学（·理）选修4-5第2课时【解析】由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)((a)5－(b)5)．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)≥0；高三数学（·理）选修4-5第2课时当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．高三数学（·理）选修4-5第2课时探究1放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在．(1)放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；高三数学（·理）选修4-5第2课时全量不少于部分；每一次缩小和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．高三数学（·理）选修4-5第2课时(2)放缩法的注意事项：①舍去或加上一些项，如(a＋12)2＋34(a＋12)2；②将分子或分母放大(缩小)，如1k21kk－1，1k21kk＋1，1k2k＋k－1，1k2k＋k－1(k∈N*，k1)等．高三数学（·理）选修4-5第2课时③放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．高三数学（·理）选修4-5第2课时思考题1(2010·辽宁理)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．高三数学（·理）选修4-5第2课时【解析】证法一因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)－23，①1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，所以(1a＋1b＋1b)2≥9(abc)－23.②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)23＋9(abc)－23，高三数学（·理）选修4-5第2课时又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)－23时，③式等号成立．当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．高三数学（·理）选修4-5第2课时证法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥ab＋bc＋ac＋31ab＋31bc＋31ac≥63.③高三数学（·理）选修4-5第2课时所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．高三数学（·理）选修4-5第2课时题型二三个正数的算术——几何平均不等式问题例2已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．【思路】利用平均值不等式abc≤(a＋b＋c3)3(a0，b0，c0)求解．高三数学（·理）选修4-5第2课时【解析】∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤12(2x2＋1－x2＋1－x23)3＝427.当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝33时，取“＝”，∴y≤239.∴ymax＝239.高三数学（·理）选修4-5第2课时思考题2设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.高三数学（·理）选修4-5第2课时【证明】因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc≥23.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.高三数学（·理）选修4-5第2课时题型三柯西不等式的应用例3(1)设a，b，c为正数且各不相等，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a9a＋b＋c.【思路】因为a、b、c均为正数，所以要结论正确只需证明2(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)9.高三数学（·理）选修4-5第2课时【证明】∵a，b，c均为正数，∴a＋b0，b＋c0，c＋a0.∵2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)，∴2(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1a＋c)＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]·[(1a＋b)2＋(1b＋c)2＋(1a＋c)2]高三数学（·理）选修4-5第2课时≥(a＋b×1a＋b＋b＋c×1b＋c＋c＋a×1c＋a)2＝9.∴2(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥9.当且仅当a＋b＝b＋c＝c＋a，即a＝b＝c时，等号成立．高三数学（·理）选修4-5第2课时又a，b，c各不相等，等号不成立，∴2(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)9，即2a＋b＋2b＋c＋2c＋a9a＋b＋c.高三数学（·理）选修4-5第2课时探究2(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题．(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件．高三数学（·理）选修4-5第2课时(2)若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．【思路】由于3x＋4y＝2，则可以构造(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2的形式，从而使用柯西不等式求出最值．高三数学（·理）选修4-5第2课时【解析】解法一由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组：高三数学（·理）选修4-5第2课时3x＋4y＝2，x3＝y4，解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为(625，825)．高三数学（·理）选修4-5第2课时解法二令a＝(3,4)，b＝(x，y)，则a·b＝3x＋4y，|a|＝32＋42＝5，|b|＝x2＋y2.∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式)，∴|3x＋4y|≤5x2＋y2，∴x2＋y2≥|3x＋4y|225＝425.其他同解法一．高三数学（·理）选修4-5第2课时思考题3设x≥0，y≥0，z≥0，a、b、c、d、l、m、n是给定的正数，并且ax＋by＋cz＝δ为常数，求ω＝lx＋my＋nz的最小值．高三数学（·理）选修4-5第2课时【解析】由柯西不等式，得ω·δ＝[(lx)2＋(my)2＋(nz)2]·[(ax)2＋(by)2＋(cz)2]≥(al＋bm＋cn)2，所以ω≥al＋bm＋cn2δ.高三数学（·理）选修4-5第2课时利用柯西不等式成立的条件，得x＝kla，y＝kmb，z＝knc，其中，k＝δal＋bm＋cn，它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝al＋bm＋cn2δ，所以ω的最小值为al＋bm＋cn2δ.高三数学（·理）选修4-5第2课时题型四排序不等式的应用例4设a1，a2，…，an是几个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2.【思路】a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，因此它们可以从小到大地排序，观察问题中的式子，可以猜想到与a1，a2，…，an对应的另一列数是1，122，132，…，1n2，由此联想到用排序不等式证明．高三数学（·理）选修4-5第2课时【解析】证明设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1b2…bn，因为b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，故b1≥1，b2≥2，…，bn≥n