与二次函数有关的存在性问题

与二次函数有关的存在性问题1、如图，已知抛物线与x轴交于AB、两点，A在B的左侧，A坐标为(1,0),与y轴交于点(0,3),CABC的面积为6.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴与直线BC相交于点,M点N为x轴上一点，当以,,MNB为顶点的三角形与ABC相似时，请你求出BN的长度；(3)设抛物线的顶点为,D在线段BC上方的抛物线上是否存在点,P使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图所示,在平面直角坐标系xoy中,直角梯形CBAO的边OC在y轴的负半轴上，OA在x轴的正半轴上，∠AOC=90°，且OA=OC=3,BC=2。(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；(2)将线段OA绕O逆时针旋转45°，交对称轴于点F，连接CF，已知点M是抛物线上一动点，且M的横坐标为a，且a1,当点M运动到直线y=1的下方时，设△CFM的面积为S，试写出S与a的函数关系式，并求出使得△CFM的面积最大时M的坐标；(3)在对称轴上是否存在一个点P，使得P与A、B构成的△PAB为直角三角形，若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。ABCDOMxyOABCFxyD3、、如图，已知抛物线212yxmxn(0n)与直线yx交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OB，BC∥x轴．(1)求该抛物线的解析式；(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方)，DE＝2．过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于点F、G．设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求y与x之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并求出x为何值时，y有最大值，最大值为多少？(3)若点P为该抛物线对称轴上一动点，在第(2)问条件下，当y取得最大值时，是否存在点P，使得以Ｐ、D、E为顶点的三角形是等腰三角形？若有，请求出P点坐标；若没有，请说明理由．xCByAOFGED练习：1、如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线1x，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．⑴求此抛物线的解析式；⑵若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.⑶若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线y=ax2－10ax+8与y轴交于点A，与x轴交于点C、D,点B在抛物线上，且AB∥x轴，AB=AC，点P是抛物线的对称轴上一动点。（1）求抛物线的对称轴及a的值；（2）当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；（3）在y轴上是否存在点M，使四边形MPBC为等腰梯形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。GABCDOxy图1026题图xyABCOD3、已知：m，n是方程2650xx的两个实数根，且mn，抛物线2yxbxc的图象经过点A(0m，)，B(0n，)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD△的面积；（注：抛物线2yaxbxc(0)a的顶点坐标为2424bacbaa，）；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH△分成面积之比为2:3的两部分，请求出P点的坐标．DBAOCxy27题图答案：1、解：(1)∵(0,3)C∴3OC又∵162ABCSABOC∴4AB∵A为(1,0)∴B为(3,0)设抛物线解析式(1)(3),yaxx将(0,3)C代入求得1,a∴223yxx(2)抛物线的对称轴为直线1,2bxa由(3,0),(0,3)BC得直线BC解析式为3yx∵对称轴1x与直线:3BCyx相交于点.M∴M为(1,2)设N为(,0)t，当MNBACB时，∴3220432BNMBttBCABMNBCAB时，∴3224332BNMBttABCB所以BN的长为3或83(3)存在.由223yxx得，抛物线的对称轴为直线1,2bxa顶点D为(1,4).①当PDPC时，设P点坐标为(,),xy根据勾股定理，得2222(3)(1)(4),xyxy即4.yx又P点(,)xy在抛物线上，2423xxx，即2310xx，解得352x∴5542yx或55,2即点P坐标为3555(,)22或3555(,).22可直接设BN的长为未知数.②当CDPD时，即,PC关于对称轴对称此时P的纵坐标为3，即2323xx，解得122,0xx(舍去)，∴P为(2,3)③当PCCD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑∴符合条件的点P坐标为35553555(,),(,)2222或(2,3).2、(1)∵OA＝OC＝3∴A(3,0)C(0,-3)BC＝2又∵四边形OCBA为梯形∴BC//x轴∴B(2,-3)∴将A，B代入到y=ax2+bx–3中9a3b304a2b33∴a1b2c3∴y=x2–2x-3……4分(2)∵对称轴：b212a2∴F(1,1)C(0,3)∴设CF：y=kx-3将F代入k-3=1k=4∴CF:y=4x-3……5分设M(a,a2-2a-3)分别过M过F作垂线，如图所示交y轴于E，两垂线交于D，则四边形MDEC为直角梯形.∴CFMMDECADFEFCSSSS(DMCE)11DEMDDEEFCE22222[1a2a34]11a41(a1)(1a2a3)222OABCFxyD令-a2+2a+4=m原式(4m)(a1)mm4a4222222a2a44a4a6a2221a3a2……7分b32a131又02∴当a=3时，S有最大值.此时M(3,0)……8分(3)存在：①当∠PAB＝900设P(1,n)则AP2=22+n2=4+n2AB2=(3-2)2+32=10BP2=12+(3+n)2=n2+6n+10∴AP2+AB2=BP24+n2+10=n2+6n+106n=4n=23∴12P(1,)3……9分②∠APB＝900时AP2=22+n2=4+n2BP2=12+(3+n)2=n2+6n+10AB2=10∴4+n2+n2+6n+10=102n2+6n+4=0n1=-1n2=-2∴P2(1,-1)P3(1,-2)……11分③∠ABP＝900AB2+BP2=AP2∴P4(1,83)……12分∴123428P(1,),P(1,1),P(1,2),P(1,)33使得△ABP为Rt△练习：1、．解：⑴设抛物线的解析式为)0(2acbxaxy由已知得：C（0，－3），A（－1，0）1分∴30390ccbacba解得321cba2分∴抛物线的解析式为322xxy3分⑵过点P作y轴的平行线与AG交于点Q由322xxy，令x=2，则y=－3∴点G为（2，－3）设直线AG为)0(knkxy∴320nknk解得11nk即直线AG为1xy5分设P（x，322xx），则F（x，－x－1），PF22xx．∵22131(2)33222APGAPFGPFSSSxxxx6分∴当21x时，△APG的面积最大此时P点的坐标为415,21，827的最大值为APGS7分（注：利用四边形的面积来表示△APG的面积也可以，只要答案正确即可）⑶存在∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上∴M、N关于直线x=1对称设点M为（m，322mm）且1m∴)1(2mMN当∠QMN=90°，且MN=MQ时，△MNQ为等腰直角三角形∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴∴32)1(22mmm即32)1(22mmm或)32()1(22mmm解得125m，225m（舍）或51m，52m（舍）∴点M为（25，225）或（5，522）∴点Q为（25，0）或（5，0）当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形26题图同理可求点Q为（－5，0）或（52，0）当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形过Q作QE⊥MN于点E，则QE=21MN32)1(2212mmm∵方程有解∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0）综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（－5，0）或（5，0）或（25，0）或（52，0）或（1，0）12分2、.解：（１）∵21008yaxax∴抛物线的对称轴为：1052axa……1分令x=0,则:y=8∴点A坐标为：(0,8)∵AB//x轴∴点A与点B关于对称轴x=5对称∴点B坐标为：（10,8）……2分∴AB=10又∵AB=AC在Rt△AOC中，22221086OCACAO∴点Ｃ的坐标为（-b，0）……3分将C(-b，0)代入21008yaxax得：36a+60a+8=0∴112a……4分（２）∵PACCACPCPA而AC=10为定值∴当PACC的取得最小值时，PC+PA最小由抛物线的对称性可知：此时点P即为BC直线x=5的交点.……5分令直线BC的解析式为：y=kx+b(k≠0).由C(-6,0),B(0,8)得：60108kbkb解得：123kbxyABCODEMP∴直线BC的解析式为：182yx……6分当x=5时，521822y∴此时点P的坐标为21(5,)2……7分（３）符合条件的点M存在.……8分由四边形的表示方法知：点M与点P在直线BC的同侧.显然：MC与PB不平行.∴MP//BC令Ｍ点的坐标为（0,m），则：直线MP的解析式为：12yxm∴点P的坐标为：5(5,)2m在Rt△MOC与Rt△PBE中222236MCMOOCm2222225221(8)51124PBPEEBmmm由：MC=PB得：22MCPB∴2222136114mmm74m∴此时点M的坐标为：7(0,)4……10分3、解：（1）解方程2650xx，得15x，21x．································（1分）由mn，有1m，5n．所以点A，B的坐标分别为10A，，05B，．································（2分）将10A，，05B，的坐标分别代入2yxbxc，得105bcc，．解这个方程组，得45bc，．所以抛物线的解析式为245yxx．·······································（3分）（2）由245yxx，令0y，得2450xx．解这个方程，得15x，21x．所以C点的坐标为50，．DHyBEAxOPMC由顶点坐标公式计算，得点29D，．················································（4分）过D作x轴的垂线交x轴于M，则12795222DMCS△，1295142MDBOS梯形，···················································（5分）1255522BOCS△．所以27251415