与自然对数的底e有关的问题

与自然对数的底e有关的极限问题。题1：回忆自然对数的底e的定义，nnne11lim:。证明nknke0!1lim，这里约定1!0。注：在级数理论里，我们通常用记号0kka（这个记号称作无穷级数）来表示部分和nkka0的极限（当然假设极限存在），即:0kkankkna0lim。我们将在下个学期学习无穷级数理论。本题的意思是，数e可以用无穷级数来表示，即0!1kke。证明：记nknkb0!1:，则nb严格。另一方面，容易看出序列}{nb有界。这是因为kkkkk111)1(1!1，2k。由此我们得到mknknnkkkb2031121112!1。根据单调有界收敛定理可知序列}{nb收敛。设bbn。我们再来考虑数nnne11lim:。记nnna11:。经二项式展开，na可以表示为nnnnnnnan1111!12111!3111!212。（*）由此可知nnba，从而有be。以下我们证明相反的不等式be。根据上述不等式（*），我们不难看出，对于任意正整数2k和kn，我们有nknknnnan1111!12111!3111!212。于上述不等式中，令n立刻得到kbe，2k。再令k就得到be。于是有be。结论得证。证毕。题2：记nknke0!1:。证明1)!1(limnnn。注：这道题的意思是，数e和nkk0!1的误差大约是)!1(1n。更具体的误差估计见下题。证明：我们将利用Stolz定理（0/0型）证明1)!1(limnnn。将)!1(nn写作)!1(1)!1(nnnn。考虑分子与分母相继两项的差，以及所得差的商，我们就得到112)!2(1!）1n（1）！2n（1-)!1(1-1nnnnnnn，n。因此1)!1(limnnn。证毕。题3：证明nnkennk!1!1)!1(10，1n。注：上述结论告诉我们，用和式nkk0!1来逼近数e非常有效，且估计误差很容易。证明：第一个不等式显然成立，因为)!1(1！k1!11nk0nkenk。对于任意nm，我们有nmnnnnmnn)2(1)2(1211)!1(1!1)!2(1)!1(12nnnnnn!11n)!1(22111)!1(1）（。即对于任意nm，我们有nnnnnmnn!1)1()!1(2!1)!2(1)!1(1。令m，我们得到nnnnnkenk!1)1()!1(2！k1!11nk0.所证不等式成立。证毕。题4：证明自然对数的底e是无理数。证明：反证。假设数e是有理数，即e可表为p/qe，其中qp,均为正整数。根据题1知，我们可以将数e表为qkqkkkeqp01qkq0!1！k1!1，其中qkqkqp0!1:，如题2所定义。于是，一方面根据等式qkqkqpqq0!1!!我们知道数qq!是正整数。但另一方面，根据题3中的结论，我们得到qqkeqqk!1!1)!1(10q。由此得qqqq1!11。数qeq!不是正整数。这就导出了一个矛盾。矛盾表明了自然对数的底e不是有理数，而是无理数。证毕。注1：一个实数称作代数数，如果它是某个整数系数多项式方程的根。非代数数的实数称作超越数。显然，代数数包括所有有理数，以及许多无理数，例如2。因为2是方程022x的根。与代数数相比较而言，我们对于超越数有较少的理解和掌控。在题4里我们已经证明了自然对数的底e是无理数。进一步，我们还可以证明，数e超越数。这是法国数学家CharlesHermite于1873年完成的一项了不起的工作。另注：圆周率也是超越数（德国数学家CarlLindemann于1882年证明）。这里老师向同学们推荐一本书，作者WilliamDunham（美），英文书名：TheCalculusGallery,MasterpiecesfromNewtontoLebesgue.中译本译名《微积分的历程》，人民邮电出版社出版，2010。书中有一章节专门介绍代数数和超越数。这本书是学习微积分课程不可多得的补充读物。值得拥有。注2：在习题1.4题17（课本第19页）中，我们遇到了另一个由极限式定义的常数577.0ln1211lim:nnn。数通常称作Euler-Mascheroni常数。这是另一个重要的数学常数，出现在数学的许多地方。相比较数e和数而言，我们对常数的了解更少。例如，迄今为止，我们还不知道是否为无理数，虽然许多数学家相信，是个超越数。一般来说，证明某个数是超越数比证明它是无理数要困难的多。如果哪位同学想将自己的名字留永久地留在数学史册上，那么研究数可能是一个途径。注3：关于Riemann-Zeta函数在正整数点上的值。Riemann-Zeta函数）(z由无穷级数定义01:）(kzkz。自变数z通常取复数值。当今数学界最重要的猜想，即Riemann猜想是关于Riemann-Zeta函数）(z零点的分布问题。关于Riemann猜想有不少科普书，如《黎曼猜想漫谈》，《素数的音乐》，《素数之恋》，《黎曼博士的零点》。三百多年以来，人们对于）(z在正整数点，2,1z上的值特别感兴趣。Bernoulli兄弟于1689年就证明了01）1(kk发散到正无穷（例1.5.1，课本第21页）。Euler于1734年以及稍后计算出了函数）(z在正偶数点上的值：02261）2(kk044901）4(kk0669451）6(kk一般0221）k2(kkkkrk，kr为正有理数，可计算的。由于是超越数，根据Gelfond的著名定理可知，函数）(z在正偶数点上的值均为超越数。基于上述Euler的工作，关于函数）(z在正奇数点上的值，人们有理由猜测以下结论成立：0121211k2(kkkksk），ks为正有理数。对此Euler保持了沉默。整个数学界也都保持沉默直到1978年，法国数学家Apery在这个研究方向迈出了真正的一步。他证明了0313(kk）是无理数。至于上面所提到关于）12(k值的猜测，今天看来，似乎在可见的将来看不到解决的希望。