中国海洋大学线性代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第1学期期末考试试卷答案数学科学学院《线性代数》课程试题(A卷)共5页第1页考试说明：本课程为闭卷考试，可携带文具(或本课程为开卷考试，可携带文具和资料)，满分为：100分。一、1.填空（每空4分，共20分）nnnnnaaaanaaaanaaaa)()2()1()()2()1(2111112222ninnk12)1(!)1(.2.若301020201,2)(BAR，则)(ABR2.3.A的伴随矩阵1000040000130024A，则A200002/10000430021.4.从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为21325.若21A，A是4阶方阵A的伴随矩阵，则AA2)3(132/81.题号一二三四五六总分得分授课教师命题教师或命题负责人签字线性代数命题组年月日院系负责人签字年月日共5页2页优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------二、选择题（每题5分，共40分）1.已知BA,是n阶方阵，则下列结论中正确的是(C)(A)00AAB且0B(B)00AA(C)00AAB或0B(D)1AIA2.设abbbabbbaA，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有(C).(A)ba或02ba(B)ba或02ba(C)ba或02ba(D)ba或02ba3.设三阶方阵BA,满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵102020101A，则B(A).(A)21(B)2(C)31(D)44.A是n阶方阵,且,22AA则未必有(A).(A)A可逆，(B)EA可逆(C)EA可逆(D)EA3可逆5.设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则线性方程组0)(XAB（D）.（A）当mn时，仅有零解（B）当mn时，必有非零解（C）当nm时，仅有零解（D）当nm时，必有非零解6.若向量组,,线性无关；,,线性相关，则（C）（A）必可由,,线性表示（B）必不可由,,线性表示（C）必可由,,线性表示（D）必不可由,,线性表示优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------7.是n阶可逆矩阵A的一个特征值，则A的伴随矩阵*A的特征值之一是（B）（A）nA1（B）A1（C）A（D）nA8.二次型233222312121321246),,(txxxxxxxxxxxxf，若其对称矩阵的秩为2，则t值应为（B）（A）0（B）87（C）78（D）1.三、若1554433221,,,,线性无关，则54321,,,,线性无关.(10分)证：反证法假设54321,,,,线性相关，存在不全为零的数54321,,,,kkkkk使得05544332211kkkkk成立不妨设01k所以1可由5432,,,线性表示，从而1554433221,,,,可由5432,,,线性表示，且45，所以1554433221,,,,线性相关与条件矛盾，因此，54321,,,,线性无关四、设242422221A求正交阵T，使ATT1为对角阵.（10分）解：)7()2(2AI，得.7,2321,221所对应的特征向量TTXX)1,0,2(,)0,1,2(21用施密特正交化法得TX)5,4,2(51,211在单位化得TTYY35,1554,1552,)0,55,552(21..73的特征向量是TX)2,2,1(3，单位化得TY)32,32,31(3取正交阵3235032155455311552552),,(321YYYT则)7,2,2(1diagATT.五、（10分）设二次型)0(,222),,(23312221321bxxbxxaxAXXxxxfT，其中A的特征值之和为1，特征值之积为-12.（1）求ba,的值；（2）利用正交变法将二次型f化为标准型，并写出正交矩阵.解：（1）200200bbaA设A的特征值为)3,2,1(ii，有1224,1)2(22321321baAa得2,1ba所以，)3()2(2IA从而，3,2321.,221所对应的特征向量有TTXX)0,1,0(,)1,0,2(2133所对应的特征向量TX)2,0,1(3因为，321,,XXX俩俩正交，单位化得,)0,1,0(,)51,0,52(21TTYYTY)52,0,51(3因此，5205101051052),,(321YYYQ。二次型的标准型为232221322yyyf六、（10分）设线性方程组040203221321321xaxxaxxxxxx与12321axxx有公共解，求a的值及所有公共解.解：因为求方程组和方程的公共解，联立方程组12040203213221321321axxxxaxxaxxxxxx的解有增广矩阵BaaaaaaaaabA)2)(1(00011001010110111210410210111),(2当0)2)(1(aa时，即1a或2a.当1a时0000000000100101B，因此有公共解为TkX)1,0,1(，可为任意常数当2a时0000110010100001B，有公共解为TkX)1,1,0(。