中国石油大学25届高等数学竞赛题

25一、填空题（每小题4分，本题共20分）：1、设)(xf连续，则_______________)(022xdttxftdxd。2、已知xyez，则______________________dz。3、函数zxyzxyu在点)3,2,1(P处沿向量OP的方向导数是_____，函数u在点P处的方向导数取最大值的方向是_____，该点处方向导数的最大值是_____。4、设函数0,sin0,80,)cos1()(02xxdtexbxxxxaxfxt连续，则a，b。5、极限xxxsin20)31(lim。二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1、设)(xf是可导函数，则下列各式不成立的是（）)0()0()(lim)(0fxfxfAx；)()()2(lim)(0afhafhafBh；)()()(lim)(0000xfxxxfxfCx；)(2)()(lim)(0000xfxxxfxxfDx。2、设,)cos(sin,cos1sin22432242dxxxNxdxxxM,)cossin(22432dxxxxP则)(.).(;).(;).(;).(NMPDPMNCNPMBMPNA本页满分28分本页得分本页满分19分3、设函数),(yxf在），（00附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(yxff，则（）(A);.3)0,0(dydxdz（B）曲面),(yxfz在点))0,0(,0,0(f的法向量为；，，}113{(C)曲线0),(yyxfz在点))0,0(,0,0(f的切向量为；，，}301{(D)曲线0),(yyxfz在点))0,0(,0,0(f的切向量为}103{，，。4、已知函数),(yxf在点)0,0(的某个邻域内连续，且1)(),(lim22200yxxyyxfyx，则（）（A）点)0,0(不是),(yxf的极值点；(B)点)0,0(是),(yxf的极大值点；(C)点)0,0(是),(yxf的极小值点；(D)根据条件无法判断点)0,0(是否为),(yxf的极值点。5、设)(xyy是二阶常系数微分方程xeqyypy3满足初始条件0)0()0(yy的特解，则当0x时，函数)()1ln(2xyx的极限为（）)(A不存在；1)(B；2)(C；3)(D。三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：1、计算.1arctan102xdxxx2、求微分方程0d)2(dxyxyx的一个解),(xyy使得由曲线)(xyy与,1x2x以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小。3、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0×610kg.km/h）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.本页得分本页满分14分本页得分4、设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222vfuf，又)](21,[),(22yxxyfyxg，求2222ygxg。5、计算积分}.10,10:),{(,},max{22yxyxDdxdyeDyx其中6、设f(t)在）[0，上连续，且满足方程Ω222)]dvyx21f([z1f(t)，其中Ω由不等式2224tyxh,z0确定，求f(t)四．证明题：（每小题6分，本题共18分）：1、设)(xfy在)1,1(内具有二阶连续导数，且0)(xf，试证：（1）对于)1,1(内任一0x，存在惟一的)1,0()(x，使得))(()0()(xxfxfxf成立。(2).21)(lim0xx2、设)(xf在区间],[ba上连续，且0)(xf，证明：.)()()(2abxfdxdxxfbaba3、已知平面区域},0,0:),{(yxyxDL为D的正向边界，证明：本页满分14分本页得分本页满分13分本页得分本页满分12分本页得分2sinsinsinsinsinsin2)2()1(LxyLxyLxydxyedyxedxyedyxedxyedyxe