中国科学技术大学2009年线性代数期末试题

中国科学技术大学2009—2010学年第1学期考试试卷考试科目:线性代数得分:学生所在系:姓名:学号一、填空题（每题5分，共40分）（1）1100210221.（2）向量)8,2,4,2(),4,10,100,9(),4,1,2,1(321生成的4R的子空间的维数等于。（3）设n阶方阵A满足02I-AA2，其中I是单位阵，则-1A.（4）设122212221A，则2010A的全体特征值为。（5）设111aaaaaaA是正定矩阵，则a的取值范围是。（6）每个元素的绝对值都相等的实二阶正交阵一共有个。（7）设矩阵11111bbaaA与200010000B相似，则a，b.（8）设3R是赋予通常内积的三维欧氏空间,),,(cba是长度为1的向量,W是由方程0czbyax给定的平面.设线性变换A把3R中的向量映为它在平面W上的投影向量,那么A在标准正交基),0,0,1(1e),0,1,0(2e)1,0,0(3e之下的矩阵是_______________.2009—2010学年第1学期第1页（共2页）二、解答题（共60分）1（10分）问为何值时，线性方程组1)5(4224)5(2122)2(321321321xxxxxxxxx.有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。2（10分）设s,,,21是数域F上的n阶方阵A的不同特征值，)()(1,,imiiXX是A的属于i的线性无关的特征向量，si,,1。证明：向量组)()(1)2()2(1)1()1(1,,,,,,,,,21smsmmsXXXXXX线性无关。2009—2010学年第1学期第2页（共2页）3（10分）设m,,1为欧氏空间V中的向量。证明：m,,1线性无关的充分必要条件是矩阵),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mmmmmm为正定阵，其中),(是V中的内积。4（15分）用正交变换化二次型323121232221321444),,(xxxxxxxxxxxxQ为标准形，并指出曲面1),,(321xxxQ的类型。2009—2010学年第1学期第3页（共2页）5.（15分）设}0tr|{22XRXV。（1）证明V是实数域上的线性空间，并求V的维数。（2）设线性变换TXXXVV2)(:AA，。求V的一组基使A在这组基下的矩阵为对角阵。