中国科学院数学与

中国科学院数学与系统科学研究院2004年说是研究生招生初试试题考试科目：数学分析1．（15分）设sin22300()arctan,()(3cos)xxfxtdtgxtttdt求0()lim()xfxgx解：利用L’Hospital法则，莱布尼兹求导公式和等价无穷小的方法解决00222320000lim()lim()0'()'()arctan(sin)cosarctan(sin)1limlimlimlim()'()3cos(3cos)3xxxxxxfxgxLHospitalfxfxxxxgxgxxxxxxx。利用法则2．计算20(1)ninnx，其中|x|1解：完全的初等做法，当然，也可以用逐项积分的办法220002200020210122(1),,(1)(1)1(1)1(1)1(1)1(1)(1)nnniiinnniiininnniiiAnnxBnxCnxBAnnxnxnxCxAnnxBCxxxxCCnxnxxCxxBxxxBBxxx233111(1)xABCxx3．（15分）判断函数：113(){}()xxuvxdudvuv在x=0,x=1的连续性解：113111222333221212122332222222233122(){}()1(){}[]()211020112xxxnxnxxxxnxnxnxxnxxxnxxnnxnnuvxdudvuvmuvuvmmxdudvdmdndmdnnuvuvnnmdmdndmdnnnxmdmdndmnn21()00(,)(,)()nxxdnuvvux另外，对于任意的，可以找到也在这个范围内，不难证明为0当0,x是一个瑕积分，不知道是否可积。大家一起看看吧4．（15分）设无穷数列{},{}nnab满足lim,limnnnnaabb，求证：111limnininiababn证明：标准的三段论的题目，以下是利用Stolz公式的方法1111111111111111lim,1limlimlimlim0limlim0|||lim|limlninininnnnnnniiininiiiininniniinnnniinnnnniniiiinnabnaabbnabbaabnnbbnaanMnn1im||0,nnM从而命题得证5．求证：p0是常数，21lim01npnndxx证明：利用夹逼定理。22110ln1limlnlimln(1)01lim01npnpnnnnnpnnnpdxdxxnxnppnndxx6．试证广义积分0yxJyedx，在0a≤y≤b的范围内一致收敛，在0y≤b的范围非一致收敛。证明：00000(1)[,]|11(2)10,,,1|,yxyxyxyxyxyxyMMMyabJyedxedyxeyxyedxdxexMyyedxeeyM令不可积，所以非一致收敛另外，可以用定义去证明：令即可推出矛盾7．证明：对于0x,yπ,求证：33sinsinsin()8xyxy证明：可以用Lagrange乘子法来做，此处用初等方法解决3sinsinsin(),,,sinsinsinsinsinsin()3sin(0,)sinsinsin3sin332xyxyxyzxyxyzxyzxyzyxxyzxyz显然，要取到最大值，所以，那么构成一个三角形基本不等式在是一个凹函数从而得证8．有一个半径为R的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为R/2，求球面被圆柱体所截的面积解：2222222222222222200arcsin22400224012cos(,):,()241224arcsin4arcsin4tan4tan|SRRxxRRxxSxtRRxSdxdynzxyzRSRRxyRzRxRRxxSdxdyRdxdyRdxzRxyRxxRdxRtdtRxRtt根据投影定理：22222244004sec4242(2)RtdtRdtRRR9．证明：200,(1)(1)4dxxx证明：利用一次变换1012211021111022220000111(1)(1)(1)(1)(1)(1)arctan|(1)(1)(1)(1)(1)(1)14txddxtdttxxttttdxtdtdtdttxxttttt10．f是(0,)上具有二阶连续导数的正函数，f’≤0,f”有界，则lim'()0xfx证明：f’(x)≤0,f(x)是一个递减函数，因为f(x)0,所以f(x)存在下确界。lim()xfxM0000210,0,,'()()()|[,],'()222{}[,],'()222[,]22()(1)'()(1)lim()2nnniiiiiixnnnGxGfxfxfxMxxxfxMMxxxxxfxMMxxMMfxffxdxnfxM如果，命题不成立，有界，不妨设|可以找到一个数列，+,而且矛盾。命题得证