专题七简单的线性规划

1专题七简单的线性规划一、预备知识：1、解方程组：会解二元一次方程组复习题：（1）解方程组3210526yxyx.（2）解方程组5420231xyxy2、不等式表示的区域：正确画出不等式表示的区域复习题：（1）在直角坐标系中画出不等式235xy表示的区域.（2）在直角坐标系中画出不等式25x表示的区域.（3）在直角坐标系中画出不等式13y表示的区域.（4）在直角坐标系中画出不等式组4335251xyxyx表示的区域.二、求目标函数的最值例：设z=2x+y，式中变量x，y满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值.解题思路分析：由于所给的约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单的线性规划问题，使用图解法求解。解：作出不等式组4335251xyxyx表示的平面区域，即可行域。把z=2x+y变形为y=-2x-z，得到斜率为-2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线.2有图可以看出，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距z最大，y经过可行域上的点B时，截距z最小。解方程组433525xyxy的点A的坐标为（5,2）解方程组431xyx的点B的坐标为（1,1）.所以z的最大值为z=2x+y=2×5+2=12，最小值为z=2x+y=2×1+1=3.总结规律方法：有本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确的作出可行域，准确的理解z的几何意义，线性规划问题的最优解一般是在可行域的边界处取得。满足线性约束条件的解(,)xy叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．解题步骤：第一步：画——根据约束条件画出可行域；第二步：作——过原点作出目标函数直线的平行线0l；第三步：移——平移直线0l找出与可行域有公共点且在y轴上的截距最大或最小的直线，确定可行域内最优解的位置；第四步：求——解有关方程组求出最优解（x，y），将最优解代入目标函数求最值。练习题：1、求zxy的最大值、最小值，使x、y满足条件200xyxy.32、设x、y满足约束条件021xxyxy，求32zxy的最大值.3、若实数x，y满足1311xyxy，求4x+2y的取值范围．三、简单线性规划的应用问题的方法举例：例如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点．（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：所以用图解法解决简单的线性规划应用问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解例1：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消4耗A种矿石不超过360t、B种矿石不超过200t、煤不超过300t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：产品消耗量资源甲产品（1t）乙产品(1t)资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石(t)54200煤(t)49360利润（元）6001000解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么;0,0,36094,20045,300410yxyxyxyx目标函数为：z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的平面区，即可行域.作直线l:600x+1000y=0,即直线l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y取最大值.5解方程组,36094,20045yxyx得M的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4.答：应生产甲产品约12.4t，乙产品34.4t，能使利润总额达到最大.第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.例2：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：.0,0,273,182,152yxyxyxyx作出以上不等式组所表示的平面区域.目标函数为z=x+y，作出在一组平行直线x+y=t（t为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的6交点A（539,518），直线方程为x+y=557.由于539518和都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y必须满足x，y∈Z，所以，可行域内点(539,518)不是最优解.经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.