中国近代化探索学案

第2课时带电粒子在复合场中的运动1．带电粒子在电场中常见的运动类型(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝12mv2－12mv20来求解．对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd求解．(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动分解的方法来处理．2．带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型(1)匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动．(2)匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做匀速圆周运动．3．复合场中是否需要考虑粒子重力的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力．(2)题目中有明确说明是否要考虑重力的情况．(3)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力．1．正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．2．灵活选用力学规律是解决问题的关键当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解．当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解.考向1带电粒子在叠加场中的运动例1如图1所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5T，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E＝2N/C.在其第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小也为E的匀强电场，并在yh＝0.4m的区域有磁感应强度也为B的垂直于纸面向里的匀强磁场．一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动(PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°)，并从原点O进入第一象限．已知重力加速度g＝10m/s2，问：图1(1)油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷；(2)油滴在P点得到的初速度大小；(3)油滴在第一象限运动的时间．审题突破在第三象限油滴恰好能沿PO做匀速直线运动需要满足什么条件？根据夹角为θ＝45°，重力、电场力有什么数值关系？油滴进入第一象限后做什么运动？解析(1)根据受力分析(如图)可知油滴带负电荷，设油滴质量为m，由平衡条件得：mg∶qE∶F＝1∶1∶2.(2)由第(1)问得：mg＝qEqvB＝2qE解得：v＝2EB＝42m/s.(3)进入第一象限，电场力和重力平衡，知油滴先做匀速直线运动，进入y≥h的区域后做匀速圆周运动，轨迹如图，最后从x轴上的N点离开第一象限．由O→A匀速运动的位移为x1＝hsin45°＝2h其运动时间：t1＝x1v＝2h2EB＝hBE＝0.1s由几何关系和圆周运动的周期关系式T＝2πmqB知，由A→C的圆周运动时间为t2＝14T＝πE2gB≈0.628s由对称性知从C→N的时间t3＝t1在第一象限运动的总时间t＝t1＋t2＋t3＝2×0.1s＋0.628s＝0.828s答案(1)1∶1∶2油滴带负电荷(2)42m/s(3)0.828s以题说法带电粒子在叠加场中运动的处理方法1．弄清叠加场的组成特点．2．正确分析带电粒子的受力及运动特点．3．画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.(2)若三场共存时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．(3)若三场共存时，粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝mv2r.(4)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．如图2所示，水平地面上方竖直边界MN左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿竖直方向的匀强电场E2(未画出)，磁感应强度B＝1.0T，MN边界右侧离地面h＝3m处有长为L＝0.91m的光滑水平绝缘平台，平台的左边缘与MN重合，平台右边缘有一质量m＝0.1kg、电量q＝0.1C的带正电小球，以初速度v0＝0.6m/s向左运动．此时平台上方存在E1＝22N/C的匀强电场，电场方向与水平方向成θ角，指向左下方，小球在平台上运动的过程中，θ为45°至90°的某一确定值．小球离开平台左侧后恰好做匀速圆周运动．小球可视为质点，g＝10m/s2.求：图2(1)电场强度E2的大小和方向；(2)小球离开平台左侧后在磁场中运动的最短时间；(3)小球离开平台左侧后，小球落地点的范围(计算结果可以用根号表示)．答案(1)10N/C，方向竖直向上(2)2π3s(3)距N点左边3m、右边55m的范围内解析(1)因为小球在MN边界左侧做匀速圆周运动，其所受到的电场力必等于自身重力，有qE2＝mg得E2＝10N/C，方向竖直向上．(2)若θ＝90°，小球匀速通过MN有最小速度：vmin＝0.6m/s若θ＝45°，小球匀加速通过MN有最大速度．此时E1qcosθ＝maa＝E1qcosθm＝2m/s2由v2max－v20＝2aL可得：vmax＝2m/s综合分析得：小球通过MN后的速度为0.6m/s≤vA≤2m/s小球以2m/s在磁场中做匀速圆周运动的时间最短，根据Bqv＝mv2R和T＝2πRv得：Rmax＝mvmaxBq＝2mT＝2πmBq＝2πs，因为sinθ＝h－RmaxRmax＝12，所以θ＝30°所以小球在磁场中转过的角度为120°，所以小球在磁场中运动的时间t＝13T＝2π3s.(3)小球落在N点左边最大距离时，设到N点距离为x，则x＝Rmaxcos30°＝3m小球从MN边界飞出的最小半径Rmin＝mvminBq＝0.6m设小球落到N点右边时，到N点的距离为s，小球落在N点右边的最大距离由平抛运动得h－2R′＝12gt2s＝v′tv′＝BqR′ms＝15h－2R′R′2当R′＝1m时，s有最大值因0.6m≤R′≤1.5m，故s＝15h－2R′R′2成立代入数据解得s＝55m所以小球的落点在距N点左边3m、右边55m的范围内．考向2带电粒子在组合场中的运动分析例2为研究带电粒子在电场和磁场中的偏转情况，在xOy平面内加如图3所示的电场和磁场，第二象限－10cm≤x≤0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B，其大小为0.2T；在第一象限内有一电场强度方向沿y轴负方向且可沿x轴平移的条形匀强电场，其宽度d＝5cm.在A(－6cm,0)点有一粒子发射源，向x轴上方180°范围内发射速度大小为v＝2.0×106m/s的负粒子，粒子的比荷为q/m＝2.0×108C/kg，不计算粒子的重力和相互作用．图3(1)若粒子与x轴正方向成30°角方向射入磁场，求该粒子在磁场中运动的时间；(2)求从A处发射的所有粒子中与＋y轴交点的最大值坐标；(3)当电场左边界与y轴重合时满足第(2)问条件的粒子经过电场后恰好平行x轴从其右边界飞出，求匀强电场的电场强度E的大小．(4)现将条形电场沿x轴正向平移，电场的宽度和电场强度E仍保持不变，能让满足第(2)问条件的粒子经过电场后从右边界飞出，在此情况下写出电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点的纵坐标y0的关系式，并绘出图线．审题突破粒子速度确定、比荷确定，则在磁场中做圆周运动的半径一定，与x轴成30°角方向射入时，对应的圆心角是多少呢？A与粒子做圆周运动的轨迹和＋y轴交点的连线是弦，弦何时最大？你能结合几何关系得到电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点纵坐标y0的函数关系表达式吗？解析(1)设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得qvB＝mv2r得r＝mvqB＝0.05m＝5cm粒子在磁场中运动的周期为T＝2πmqB＝π2×10－7s如图所示为粒子在磁场中运动的轨迹由几何关系得α＝60°t＝α2πT＝π12×10－7s.(2)设从y轴最上方飞出的粒子坐标为(0，y1)由几何关系得(2r)2＝62＋y21得y1＝8cm.(3)如图所示，设粒子从磁场射出时速度方向与x轴的夹角为θ，有sinθ＝610，即θ＝37°，设粒子在电场中运动的时间为t1，t1＝dvcosθ设粒子的加速度大小为a，则a＝qEmvsinθ＝at1联立解得E＝mv2cosθsinθqd＝1.92×105N/C.(4)如图所示，带电粒子离开磁场后先做匀速直线运动，后做类平抛运动．电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点纵坐标y0的函数关系为y1－(x0＋d2)tanθ＝y0，即y0＝6.125－0.75x0(cm)当x0＝0时，从电场右边界出射点的纵坐标为y0＝6.125cm，当y0＝0时，电场左边界的横坐标为x0＝496cm.图线如图所示．答案(1)π12×10－7s(2)8cm(3)1.92×105N/C(4)y0＝6.125－0.75x0(cm)见解析图以题说法设带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，解决方法如下：(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律．在匀强磁场中做匀速圆周运动．在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动．(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理．(3)当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破口．如图4所示，相距3L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场Ⅰ的场强方向竖直向下，PT下方的电场Ⅱ的场强方向竖直向上，电场Ⅰ的场强大小是电场Ⅱ的场强大小的两倍，在电场左边界AB上有点Q，PQ间距离为L.从某时刻起由Q以初速度v0沿水平方向垂直射入匀强电场的带电粒子，电量为＋q、质量为m.通过PT上的某点R进入匀强电场Ⅰ后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若PR两点的距离为2L.不计粒子的重力．试求：图4(1)匀强电场Ⅰ的电场强度的大小和MT之间的距离；(2)有一边长为a、由光滑弹性绝缘壁围成的正三角形容器，在其边界正中央开有一小孔S，将其置于CD右侧且紧挨CD边界，若从Q点射入的粒子经AB、CD间的电场从S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出(粒子与绝缘壁碰撞时无机械能和电量损失)，并返回Q点，需在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动的半径小于12a，求磁感应强度B的大小应满足的条件以及从Q出发再返回到Q所经历的时间．答案(1)mv20qL12L(2)B＝2mv01＋2nqa，n＝1,2，…6Lv0＋6n＋1πa22n＋1v0，n＝1,2，…解析(1)设粒子经PT直线上的点R由E2电场进入E1电场，由Q到R及R到M点的时间分别为t2与t1，到达R时竖直速度为vy，则由F＝qE＝ma，2L＝v0t2，L＝v0t1，L＝12·E2qmt22，E1＝2E2，得E1＝mv20qLvy＝E2qmt2＝E1qmt1MT＝12·E1qmt21联立解得MT＝12L.(2)欲使粒子仍能从S孔处射出，粒子运动的半径为r，则qv0B＝mv20r(1＋2n)r＝12a，n＝1,2，…解得：B＝2mv01＋2nqa，n＝1,2，…由几何关系可知t′＝3×(2n×T2＋T6)＝(3n＋12)Tn＝1,2,3…T＝2πRv＝2πmBq代入B得T＝πa2n＋1v0，n＝1,2，…t＝2t1＋2t2＋t′＝6Lv0＋6n＋1πa22n＋1v0，n＝1,2，…9．带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析例3(19分)如图5甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变