专题六数列

数列数列是高中代数的重要内容之一，首先数列可以视作函数，也就是正整数集到实数集的映射.但数列又有不同于高中大多数函数的特点，即数列有离散性.所以，数列与函数，方程，不等式，解析几何，二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点.在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，主要考察学生的思维能力和分析，解决问题的能力.解决这类问题时往往要用到函数与方程的思想，划归与转化的思想以及分类讨论的思想等等.题型多为一道选择题或填空题，一道解答题.其中，等差数列，等比数列与函数，导数，不等式，方程，解析几何相联系的综合题是高考的必考内容.等差数列与一次函数，二次函数等联系密切.等比数列与指数函数，联系密切.从而，数列，函数，方程，不等式等知识便能很自然的融合到一起.而由于数列是点集，所以数列与解析几何也可以综合在一起考查.从而数列内容综合性较强，难度也较高.但是，在有些省份的考卷中，也会在解答题中单独考查数列的基础知识.希望同学们在复习时注意基础知识，基本方法.核心内容一、数列的概念及表示方法数列的单调性问题，数列中的最大项求解：11nnnnaaaana与nS的关系：2111nSSnSannn．要用到分类讨论二、等差数列与等比数列定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列．从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列．通项公式：等差数列：dnaan11，等比数列11nnqaa，Nn前n项和公式：等差数列：21nnaanSNn；等比数列：1,111,11qqqaqnaSnnNn等差中项与等比中项三、由递推关系求数列的通项数列通项公式的求解常用方法：①利用基本公式(等差数列或等比数列相关公式)②累加与累乘③若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项公式，可用公式2111nSSnSannn④转化为等差或等比公式(可在各类竞赛书或数学教育相关杂志上见到)如待定系数法，特征根法，不动点法等等.PS：递推思想的应用①数列问题②排列组合与计数问题③函数迭代问题④物理问题四、数列求和数列求和的常用方法：①利用Σ(求和号)的性质②利用已知公式③倒序相加(等距性)④错位相减：(一般适应于数列nnba的前n向求和，其中na成等差数列，nb成等比数列)⑤裂项相消PS：常见的拆项公式：(1)若na是公差为d的等差数列，则111111nnnnaadaa；(2)1211212112121nnnn；(3)nnknkn111；(4)mnmnmnCCC11；(5)!!1!nnnn.⑥其他求和法：利用母函数，Abel公式等等.(散见于各类竞赛书)PS：求和公式的逆用，往往可以为证明某些不等式提供思路.基础篇1.在等比数列na中，若公比4q，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式na_________．考点：等比数列的通项公式与前n项和公式的应用解析：公比已经知道，若想求的数列的通项公式则需要知道首项1a，设该数列的通项公式为114nnaa，由题意知21164111aaa，解得11a，所以通项14nna答案：14n．2.已知各项均为正数的等比数列na，5321aaa，10987aaa，则654aaa＝A．25B．7C．6D．24考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识规律方法：转化与化归的数学思想.解析：由等比数列的性质知532231321aaaaaaa，1038897987aaaaaaa，所以318250aa，所以255036138235564654aaaaaaaaa另一种方法：222174285396456123789,,52aaaaaaaaaaaaaaaaaa，所以答案：A3.如果等差数列na中，12543aaa，那么721aaaA．14B．21C．28D．35考点：等差数列的基本公式和等差中项的性质.解析：利用等差数列的基本公式求解，34513912aaaad，1271824aaaad，所以1273458()283aaaaaa利用等差中项的性质求解：1234543aaaa，44a，28727471721aaaaaa答案：C4.设na是任意等比数列，它的前n项和，前n2项和与前n3项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是A．YZX2B．XZZXYYC．XZY2D．XZXXYY考点：等比数列的求和公式解析：利用等比数列前n项和的基本公式，可以求得X，Y，Z的关系：211(1)(1),(1),11nnnaqaqXYXqqq321(1)(1)1nnnaqZXqqq，最后验证D符合。另外可以带入特殊值的方法，取等比数列1，2，4，令1n得1X，3Y，7Z代入验算，只有选项D满足．答案：D5.在等比数列na中，11a，公比︱q︱≠1.若54321aaaaaam，则mA．9B．10C．11D．12考点：等比数列的性质及通项公式解析：设改等比数列的通项公式为11nnaaq，101432154321qaqqqqaaaaaaam，因此有11m，其中︱q︱≠1答案：C．6.已知na是首项为1的等比数列，ns是na的前n项和，且639ss，则数列na1的前5项和为A．815或5B．1631或5C．1631D．815考点：等比数列的前n项和公式等基础知识规律方法：分类讨论，注意1q的情况解析：设等比数列的公比为q，则当公比1q时，由11a得，273993S，而66S，两者不相等，故不合题意；当公比1q时，由639SS及首项为1得：9qqqq111163，解得2q，所以数列na1的前5项和为16311618141211．答案：C7.设等差数列na的前n项和为nS，若111a，664aa，则当nS取最小值时，n等于A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用规律方法：判断一个递增或递减数列何时nS取最值，或者用二次函数求最值解析：设该数列的公差为d，则6811282164ddaaa，解得2d，则通项公式为213nan，为递增数列，则10,0nnaan而时S取到最大值，解得n=6.另一种方法：可以求得前n项和366122211122nnnnnnSn，所以当6n时，nS取最小值．答案：A8.已知na是公差不为零的等差数列，11a且1a，3a，9a成等比数列(1)求数列na的通项公式(2)求数列na2的前n项和nS考点：等差数列的通项公式和等比数列的求和公式解析：(1)由题设知：公差d≠0，由11a，则设(1)1nand，且1a，3a，9a成等比数列可知dd81212，所以02dd，解得d＝1或d＝0(舍)na是公差不为零的等差数列，故na通项公式为nan(2)由(1)知nan22由等比数列求和公式可得：22212121nnnS9.设数列na满足21a，12123nnnaa(1)求数列na的通项公式；(2)令nnnab，求数列的前n项和nS考点：等比数列的基本公式和求解数列的基本技巧规律方法：递归累加法求通项公式，利用错位相减来求数列的前n项和解析：(1)由已知，132142323nnnnaa当1n时，11423nnnaa221423nnnaa……112423aa累加求和，可以得到121423423423nnaa所以有1214234234232323nnaa从而12241412321nnna所以数列na的通项公式为122nna(2)由nnnnnab42知nnnS4242342242132①122424214224214nnnnnS②①－②得1324242142142142141nnnnS）（，前面是等比数列求和，最后化简得到22139112nnnS提高篇1.对于数列na，“,2,11naann”是“na为递增数列”的【B】A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：数列的单调性和命题的充分性，必要性解析：由,2,11naann知n≥2时na所有项均为正项，且1211nnaaaaa，即na为递增数列反之，na为递增数列，不一定有,2,11naann，如－2，－1，0，1，2，….答案：B2.已知数列na满足：134na，014na，nnaa2，*Nn，则2009a__；2014a_________.考点：周期数列的基础知识规律方法：根据题意，选择性带入，从题目中寻找突破口。解析：依题意，得1350342009aa，0125241007100722014aaaa.答案：1，03.等比数列na中，21a，48a，函数821axaxaxxxf，则0'f()A．62B．92C．122D．152考点：等比数列与多项式函数的导数规律方法：本题有一定的创新性，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法来求解解析：考虑到求导中，含有x项均取0，则0'f只与函数xf的一次项有关；得：1248183212aaaaaa.求0点的导数时还可以考虑用其他方法：(1)821axaxaxxxf，看成两个部分，一个是x，一个是后面的一部分，所以'1'821821axaxaxxaxaxaxxf，带入0x,83210'aaaaf(2)利用导数定义82182100lim0lim0'aaaxaxaxaxxxfxffxx821aaa答案：C4.已知数列na的前n项和nnnnS32(Ⅰ)求nnnSalim；(Ⅱ)证明：nnnaaa32122221．考点：数列基本公式2111nssnsannn的运用，数列极限和数列不等式的证明规律方法：分类讨论的数学思想和不等式的放缩技巧解析：(I)134216111211nnnnnssnsannnn32112132lim3342limlim212nnnnnnSannnnnnn(II)当n＝1时，361121San＞1时112122323212342kkkkkkkkka，若是直接代入放缩，发现放缩的小于右边，所以第一项我们不放缩代入，发现：1222213232621nnnaaannn333313124所以nnnaaa321222215.已知数列na满足：211a，11112113nnnnaaaa，101