中大高等数学(一)2014上半年第一次作业2

高等数学（一）2014上半年第一次作业一、选择题：１．函数)1ln(1)(xxxf的定义域是（C）Ａ．)0,1(Ｂ．),0(Ｃ．),0()0,1(Ｄ．),0()0,(2．xxx10)21(lim（C）Ａ．eＢ．eＣ．2eＤ．１3．)32cos()431sin(xxy的周期是（D）Ａ．2Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．124．设)(xf是奇函数，当0x时，)1()(xxxf，则0x时，)(xf的解析式是（B）Ａ．)1(xxＢ．)1(xxＣ．)1(xxＤ．)1(xx5．函数21xy，)01(x的反函数是（B）A．21xy)01(xB．21xy)10(xC．21xy)10(xD．21xy)11(x6．在下列各函数中，表示同一函数的是（C）A．2xy与2)(xyB．xysin与xy2cos1C．xxy12与xxy112D．)12ln(2xxy与)1ln(2xy7．xx2sinsin2,xcos1,则当0x时，与的关系是（D）A．~B．是比高阶的无穷小C．,是同阶无穷小D．是比高阶的无穷小8．在区间)0,（内与xxxy32是相同函数的是（B）A．x1B．x1C．1xD．1x9．设)999()2)(1()(xxxxxf，则)0(f（D）A．999B．999999C．999!D．-999!10．若)(0xf存在，则xxxfxxfx)()2(lim000（C）A．)(0xfB．)(20xfC．)(30xfD．)(40xf11．函数24121arcsinxxy的定义域是（C）A．[-2,+2]B．[-1,2]C．[-1,2]D．(-1,2)12．函数xxy22的图形（C）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．不是对称图形13．当0x时，下列式子是无穷小量的是（C）A．xxsinB．xx1)1(C．xx1sin31D．x1sin14．曲线xxy33在点（2，2）处的法线方程为（B）A．)2(912xyB．92091xyC．9291xyD．)2(92xy15．xnxexlim（n为自然数，0）的极限是（C）A．1B．不存在C．0D．n116．xxfsin)(在0x处的导数是（C）A．0B．2C．不存在D．117．当n时比21n低价无穷小的应是以下中的（B）A．21sinnB．35nC．321nnD．n18．下列函数中不是初等函数的有（B）A．xxysinB．xxy)1log(2C．2cos2arcsinxxyD．xxsin19．xxxxx3sin2sinlim0（B）A．0B．3C．5D．220．函数xxxf3)(在[0,3]上满足罗尔定理的（D）A．0B．3C．23D．2二、填空题（每小题4分，共20分）1．曲线2tx,ty2在1t对应点处的切线方程是y=x+1。2．设22)1arcsin(ttytx，则dxdy1-t。3．函数1xeyx的单调减少区间是(-无穷大,0)。4．函数12xxy在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的全部条件，则使结论成立的=2/15．已知4limxxaxax，则aln2三、解答题（每小题8分，共40分）1．证明不等式：当0x时，tgxarcxx11)1ln(证：令arctgxxxxf)1ln()1()(,则01)1ln(111)1ln()('222xxxxxxf)0()(fxf即0)1ln()1(arctgxxx2．设)(xf在[0,2a]上连续且)2()0(aff，试证明至少有一点],0[a使得)()(aff。证：令()()()kxfxfxa则(0)(0)()kffa，()(a)(2)kaffa若(0)()ffa则取0或a若(0)()ffa则(0)()0kka故存在(0,)a使()0k即)()(aff。3．求由方程0sin21yyx所确立的隐函数y的二阶导数22dxyd。解：两边对x求导0cos211dxdyydxdy22cosyy2234sin(2cos)dyydxy4．求极限xxxxsin1sinlim340。解：原式＝01sinsinlim310xxxxx5．若)(xf在[a,b]连续，bxxxan21则在],[1nxx上存在使nxfxfxffn)()()()(21。证：设m,M分别是)(xf在1[,]nxx上的最小，最大值，则()imfxM从而1()niimnfxMn即()ifxmMn由介值定理，存在1[,]nxx使1()()niifxfn