中央电大经济数学基础教学建议

中央电大《经济数学》教学建议第1页（共9页）中央电大《经济数学基础》教学建议李木桂(广东电大经济数学责任教师)经与中央电大责任教师联系，以后试题将与2007年1月试题结构一样，重点相同。由于单项选择题与填空题涉及知识面较宽，下文仅略作介绍，重点放在计算题与应用题上。下面结合沟通的结果，按各章顺序提出教学建议：微分学第1章函数考试知识点：定义域，经济函数，函数值，已知复合函数求原来函数，判断函数异同，函数的奇偶性1、定义域求定义域主要围绕以下几个方面考虑：①有分式时，其分母不为0；②有对数时，其真数大于0；③有开平方时，平方根内的表达式非负。注意：定义域通常用区间表示。2、经济函数（1）对于需求函数，要求能由需求函数写出价格函数。（2）对于成本函数，①在给定固定成本和单位变动成本时，能写出成本函数；②其它类型的成本函数通常是直接给出的。（3）在已知成本函数时能写出平均成本函数。（4）收入函数=价格×销售量，在给出价格（或需求函数）时，能写出收入函数。（5）利润函数=收入函数-成本函数，能写出利润函数。如：某企业生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一件产品的成本为60元，这种产品的需求函数为q=1000-10p（q为需求量，p为价格），求成本函数，收入函数和利润函数。解：成本函数C(q)=2000+60q(元)从需求函数可得价格函数p=100-0.1q收入函数R(q)=pq=100q-0.1q2(元)利润函数L(q)=R(q)-C(q)=40q-0.1q2-2000(元)3、函数值包括初等函数和分段函数的函数值。4、由复合函数求原来函数如：已知2(2)3fxxx，求f(x)解法一（特殊解法）22()[(2)2](2)3(2)2fxfxxxxx解法二（配方法）222(2)3(2)443(2)(2)2fxxxxxxxx∴2()2fxxx解法三(代换法)设x+2=t,则x=t-2，代入2(2)3fxxx得222()(2)3(2)2,()2ftttttfxxx5、判断函数异同只有当函数定义域及对应规则两要素都相同时，它们才是相同的。6、函数的奇偶性首先要记住定义；其次是记住一些常见的奇、偶函数，并利用奇、偶函数的四则运算来判断奇偶性。中央电大《经济数学》教学建议第2页（共9页）常见奇函数：323,,,sin,tan,cot,,ln(1)xxxxxxxxaaxx等；常见偶函数：22,,cos,,()xxcxxaafx等（其中C是常数）。如31yx是非奇非偶函数；()xxyxee是偶函数；cosyxx是奇函数。注意：经济函数中的成本函数、收入函数及需求函数、平均成本函数是本课程的重点内容，要切实理解。基本初等函数主要掌握定义，复合函数分解主要是为求导数作准备的，同样需要切实掌握。微分学第2章极限、导数和微分考试知识点：极限计算，复合函数求导或微分，切线方程，切线斜率，二阶导数，无穷小量，导数值本章重点：复合函数求导（计算题10分）。1、极限的计算只需考虑可能在单项选择题或填空题中出现的简单情形。极限的计算侧重掌握因式分解法、有理化法及利用两个重要极限计算的方法。（1）x类型：通常是化为无穷小来计算，即有分式时，分子、分母同时除以最高次幂；或利用第二个重要极限lim(1)xkxkex来计算。（2）0xx类型：当没有分母或分母极限不为0时，可利用连续性，直接将x0代入；当分母极限为0而分子极限不为0时，直接得出结果∞；当分子、分母极限均为0时，可利用因式分解、有理化或第一个重要极限来计算；当出现∞-∞的情形时应先通分。2、复合函数的导数（或微分）计算（隐函数的导数或微分，只要求作形成性考核）这部分是微积分最重要的内容，首先要记熟导数公式与法则，然后套用；其次是对简单函数要会求导数值、微分及二阶导数。教材中有大量的例题与习题，这里仅列举几个例子：（1）设2xye，求dy。解：2222()22xxxyexxedyxedx（2）设1cos4ln3xyxe，求,yy。解：先化简得cos4ln3xyex，注意常数导数为0，故有4sin4,16cos4xxyexyex。（3）设2ln(1)yx，求,1yyx。解：222222222(1)2222,1,11(1)(1)xxxxxyyyxxxx。3、导数的几何意义主要是会求切线方程或切线斜率。4、无穷小量要注意与重要极限的区别，以下几个结论要特别注意：00sinsin11lim1,lim0,limsin0,limsin1xxxxxxxxxxxx中央电大《经济数学》教学建议第3页（共9页）5、连续的概念要注意如下问题：设1(12)0()0xxxfxkx在x=0连续，则k=。（答案：2e）（这里利用连续性的定义，有1200(0)lim()lim(12)xxxkffxxe）微分学第3章导数应用考试知识点：需求弹性，求最大利润时的产量及最大利润，求最小平均成本时的产量及最小平均成本，驻点与极值点，单调区间，单调性。本章的重点：最值应用题（20分）。1、求最大利润（最小平均成本、最大收入）时的产量（或销售量）这部分是本课程的重点，要求熟练掌握。（1）某厂每生产一批某种产品，其固定成本为20000元，每生产1吨产品的成本为60元，对这种产品的市场规律为q=1000-10p（q为需求量，p为价格）。试求①成本函数，收入函数；②产量为多少时利润最大？③假设生产的产品能全部售出，求获得最大收入时的销售量。解：①成本函数C(q)=60q+20000，由需求规律得p=100-0.1q，收入函数R(q)=100q-0.1q2②利润函数L(q)=R(q)-C(q)=40q-0.1q2-20000，边际利润函数()400.2Lqq，令()Lq0得q=200（吨），由于驻点唯一，故产量为200吨时利润最大。③()1000.2Rqq，令()0500Rqq（吨），由于驻点唯一，故产量为500吨时收入最大。（2）设生产某种产品q单位的成本函数为C(q)=900+20q+q2，问q为多少时，能使平均成本最低？最低平均成本是多少？解：平均成本函数为2()900900()20,()1CqCqqCqqqq令()Cq=0得q=30（单位），由于驻点唯一，故产量为30单位时平均成本最低，最低平均成本为(30)80C。2、需求弹性主要是记住公式()()pqpEpqp后套用。如：设需求函数5100pqe，则需求弹性为Ep=-5p。3、求单调区间或给定某区间时判断该区间内函数的单调性。如：函数f(x)=x2-4x+5的单调增加区间是（2，+∞），在区间（0，+∞）内先单调减少，后单调增加。4、函数极值应侧重于驻点、极值点等概念的理解，而简单函数的极值、最值问题适当考虑便可。中央电大《经济数学》教学建议第4页（共9页）微分学第4章多元函数微分学本章不作考试要求。一元函数积分学（第1章不定积分及第2章定积分）考试知识点：用凑微分法计算积分，简单广义积分，原函数概念，不定积分性质，用分部积分法计算积分，定积分的导数。本章重点：凑微分法（或分部积分法）计算不定积分（或定积分）（计算题10分）。1、凑微分法（第一换元积分法）（包括不定积分和定积分）这部分是这两章的重点，要熟练掌握，但不必考虑过难的题目。如：122333333311(2)(2)(2)322xdxxdxxcx222522444311222171(2)()()321221xxxxedxxxedxeeexx。2、原函数与不定积分的概念要理解清楚，如“2xe”是f(x)的一个原函数，与“2xe的原函数是f(x)”是截然不同的。凑微分是凑微分法和分部积分法的基础。（1）设2xe是f(x)的一个原函数，则222()()2,()4xxxfxeefxe；（2）凑微分如sinxdx=-d(cosx)等。2、广义积分主要考虑形如()afxdx的简单积分。如：33011330xxedxe4、不定积分的性质主要考虑导函数（或微分式）的不定积或不定积分的导数（或微分）。如：设3()2xfxdxxc，则f(x)=2xln2+3x25、分部积分法主要考虑(ln)nxxdx的类型，（其中是实数，n=1,2），基础较低的学员可用列表法。如：2lnxxdx（1）（公式法）2lnxxdx=33333111111lnlnln33339xdxxxxdxxxxcx（2）（列表法）（+）lnxx2(－)1x313x中央电大《经济数学》教学建议第5页（共9页）由上面列表得:233333111111121lnln11333999eeeexxdxxxxdxexex注意：lne=1,ln1=0。6、定积分是一个常数，其导数必为0。如：32120dxdxdx。一元函数积分学第3章积分应用考试知识点：已知边际成本（边际收入）及固定成本求成本函数（收入函数、利润函数）或它们的增量，奇、偶函数在对称区间上的积分，已知边际成本（或边际收入）求最大利润（最大收入）问题。（微分方程内容只作形成性考核！）本章重点：已知边际经济函数求最值问题（20分）1、已知边际成本（边际收入）及固定成本求成本函数（收入函数、利润函数）或它们的增量一般采用定积分来计算，这样不容易出错（当然也可以使用不定积分来计算）。如（1）设某商品的边际收入函数为()Rq，则0()()qRqRqdq（2）设生产某产品的边际成本函数为0.2()2qCqe，固定成本为90，则总成本函数0.20.20()2901080qqqCqedqe产量从1单位增加到3单位时成本增量为30.20.60.213()1010()1qCCqdqeee。2、奇、偶函数在对称区间上积分若f(x)为奇函数，则()0aafxdx；若f(x)为偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx。如111133211111sin0,(cos5)cos5051011xdxxxdxxxdxdxxx3、已知边际成本（边际收入），求最大利润问题如（1）设生产某产品的边际成本()8Cqq（万元/百台），边际收入()1002Rqq（万元/百台）。问：①产量为多少时利润最大？②从利润最大时产量再生产2百台，利润有什么变化？解：①边际利润为()()()10010LqRqCqq，令()0Lq得唯一驻点q=10，故产量为10百台时利润最大。②利润增量为12122101012()(10010)(1005)2010LLqdqqdqqq，即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。（2）生产某种产品q吨时的边际成本为()32Cqq（万元/吨），固定成本为5万元，收入函数为R(q)=15q-0.5q2（万元）。试求产量为多少可使利润达到最大？并求最大利润。解：①()15Rqq，令()()()1230LqRqCqq得唯一驻点q=4，即当产量为4中央电大《经济数学》教学建议第6页（共9页）吨时利润最大。②最大利润L(4)=442004()5(123)5(121.5)5190Lqdqqdqqq。（也可用不定积分去解：由()32Cqq（万元/吨），有C(q)=()Cqdq3q+q2+c,又固定成本为5万元，∴C(q)=3q+q2+5，从而L(q)=R(q)-C(q)=12q-1.5q2-5，故最大利润L(4)=12×4－1.5×42－5=19(万元)。）线性代数第1章行列式本章不作考试要求。