中学数学中换元法的应用与常见错误分析

中学数学中换元法的应用与常见错误分析目录第一章引言………………………………………………………4第二章在因式分解中的应用………………………………………4第三章在化简二次根式中的应用…………………………………53.1设元代数，化已知为未知…………………………………………………53.2设元代式，无理变有理……………………………………………………5第四章在解方程中的应用…………………………………………64.1分式方程……………………………………………………………………64.2一元二次方程………………………………………………………………74.3三角有理方程……………………………………………………7第五章在证明不等式中的应用……………………………………85.1三角换元法………………………………………………………85.2改变换元后中间变量的范围………………………………………9第六章换元法常见错误分析………………………………………96.1将复合函数与原函数混为一谈……………………………………………96.2改变换元后中间变量的范围………………………………………………106.3换元的选择不恰当…………………………………………………………11结论……………………………………………………………………………12参考文献……………………………………………………………122摘要换元法是中学数学解题中的一种重要方法，应用十分广泛。本文对换元法在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式中的应用以及应用中的常见错误进行分析和探讨。关键词换元法因式分解化简二次根式解方程证明不等式错误分析MiddleschoolmathematicsfortheuseofconversionmethodandanalysisofthecommonmistakesABSTRACTFormiddleschoolconversionmethodisanimportantandbroadmethodinsolvingmathematicproblems.Inthispaper,wewillanalyseanddiscusstheuseofconversionmethodontheElementmethod,thesecondradicalsimplification,solvingequations,toproveInequalityandtheapplicationofcommonerrors.Keywords:Conversionmethod,Elementmethod,thesecondradicalsimplification,solvingequations,proveInequality,theapplicationofcommonerrors第一章引言换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造3原来的式子，使其简化，问题便于解决。之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用的。在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。之所以说换元法应用广泛，是因为在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。同时，由于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此需要对常见错误进行分析，防止犯错。本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。第二章换元法在因式分解中的应用因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。例1.分解因式：442yxyx（济南市2007）分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个角度考虑，可以将yx看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。解：设uyx原式442uu22u22yx例2.分解因式：22224432134xxxxxx分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用换元法进行因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：442xx321322xxxx，将其中两部分设为辅助元，则可以表示4出第三部分。解：设Axx132，Bxx322,则BAxx442。原式224BABAAB222222323213xxxxxx使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。第三章换元法在化简二次根式中的应用在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。3.1设元代数，化已知为未知例3.若20021200221x，求xx12的值分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。解：设2002y，则yyx121，221411yyx，且01yy原式yyyyyyyy12112112114122002y3.2设元代式，无理变有理例4.化简ababbaa（陕西省2008）分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。解：设xa，yb，5原式yxxyxyxxxyxxyx223bayx解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。第四章换元法在解方程中的应用除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。如果方程0xF的左端xF是一个复合函数：ufxF，xu，而方程0uf和xu是比较简单的方程，则可进行换元。令xu，这样方程就转化为0uf，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。4.1分式方程形如0cxfbxaf令xfu，原方程化为0cubau，即02cbuau解得aabccu242，原方程化为两个简单方程aabccxf2421，aabccxf2422，注意检验根。例5.解方程251122xxxx分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。解：设uxx12，则uxx112，原方程化为251uu解得211u，22u6当211u时，有2112xx，即0122xx，解得121xx当22u时，有212xx，即0222xx，无实数解经检验，1x是原方程的解。4.2一元二次方程形如02cxbfxfa令xfu，原方程化为一元二次方程02cbxax解得aabccu242，原方程化为两个简单方程aabccxf2421，aabccxf2422当xf是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟，当xf是分式或无理式时，应进行验根。例6.解方程376276222xxxx（哈尔滨2007）分析：则可以将xx762看成整体进行换元，转化为一元二次方程求解。解：设xxu762，原方程化为0322uu，解之得31u，12u当31u时，即3762xx，得231x，312x当12u时，即1762xx，13x，614x经检验231x，312x，13x，614x是原方程的根4.3三角有理方程形如0cos,sinxxR运用万能代换2tanxu，得代数有理方程011,12222uuuuR。需要注意的是，因2tanxu的自变量允许值是12nx，zn，缩小了未知量的范围，因7此用万能代换解三角有理方程时，应注意有失根的可能。例7.解方程1cossinxx分析：运用万能代换，将原方程化为代数有理方程，再求解。解：设2tanxu，原方程化为11112222uuuu，解之得1u因此12tanx，nx22zn经检验，nx221，122nx是原方程的根从以上分析可以看出，换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，因此不同的方程就有不同的换元方法。因此，这种方法灵活性大，技巧性强，适当的换元，可以将复杂的方程化简，方便求解。第五章换元法在证明不等式中的应用不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位。在不等式证明中，有些问题直接证明较为困难，但如果通过换元的思想与方法去解决就方便多了。下面列举两种基本的换元方法。5.1三角换元法三角换元是常用的一种换元方法，多用于条件不等式的证明。在解类似这些问题时，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质解决问题。例8.已知Rba,，且122ba，求证：2222baba分析：由条件不难想到公式1cossin22，假设sinra，cosrb，其中1r，2,0，这样就将代数问题转化为三角问题了。证明：设sinra，cosrb，其中1r，2,0，则2222222sincossin2cos2rrrbaba2sin2cos22rr8242sin22r当1r，2或89时，等号成立。5.2增量换元法一般的，对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如abc）的不等式，常用增量法进行换元，换元的目的是通过减元，使问题化难为易，化繁为简。例9.已知a2,b2,求证：baab分析：因为ba,都在常量2附近变化，运用增量换元法，设ma2，nb2，其中m0，n0，再运算证明。证明：设ma2，nb2，其中m0，n0则nmnmabba2222mnnmnm2244mnnm0故baab不等式证明是中学数学中的一个难点，换元法是常用的一种方法，然而在具体解题时要根据不同的条件和结论进行相应的换元，技巧性很强。第六章换元法常见错误分析虽然合理运用换元法能够做到化繁为简，化难为易的作用，但在使用过程中如果不注意等价转化，往往会出现不易察觉的错误。错误常表现为：6.1将复合函数与原函数混为一谈函数xFy经过换元ux就变为uFy这种形式的复合函数。常常出现只考虑uFy的单调性，而不考虑u的单调性的情况，最终导致错解。例10.试讨论函数21xaxy（a0）的单调性9错解：设,0,cosx，则cotsincosaay因为coty在,0上是减函数，且a0所以21xaxy（a0）是增函数分析：换元过后，只考虑了cotay的单调性，没有考虑cosx的单调性，导致了错解。正确的解答应该在考虑cotay的单调性的同时，还考虑到cosx的单调性，两者结合，最终得出结论。正确解：设,0,cosx，则cotsincosaay因为cotay在,0上是增函数，又因为cosx在,0上是减函数所以21xaxy