中学数学填空题的若干解法

师范学院毕业论文（设计）第1页共15页摘要：文中讨论了中学数学填空题的若干解法及部分指导思想，如配方法、换元法、定义法等，还介绍了一些数学思想.关键词：数学思想、数学方法Abstract：Itwasproposedsomesolutionaboutthemiddleschoolmathematicsclozetestandsomemathematicalthought,forexamplemethodofcompletingsquare、methodofsubstitution、definitionmethod,introductiontosomemathematicalthought.Keywords：mathematicalthought、mathematicalmethod师范学院毕业论文（设计）第2页共15页目录0引言…………………………………………………………………31数学方法……………………………………………………………31.1配方法……………………………………………………………31.2换元法…………………………………………………………41.3待定系数法…………………………………………………………51.4数学归纳法………………………………………………………61.5参数法………………………………………………………71.6定义法………………………………………………………71.7反证法………………………………………………………82数学思想………………………………………………………82.1数形结合思想………………………………………………………82.2分类讨论思想………………………………………………………92.3函数与方程的思想…………………………………………………102.4等价转化思想………………………………………………………12结论…………………………………………………………………14参考文献……………………………………………………………15师范学院毕业论文（设计）第3页共15页0引言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题，总想着用熟悉的题型去解决，这只能满足于解出来.而只有对数学思想、数学方法理解透彻并能融会贯通时，才能提出新看法、巧解法.中学数学特别是高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题，形成自身能力，提高数学素养，使自己具有数学头脑和眼光.据08年高考说明中数学部分的介绍，08年数学高考必做题部分由填空题和解答题组成，其中填空14题，约占70分.可见高考对客观题的训练要求增强.数学填空由于其特殊性在历年高考失分中占有相当大的比率.本文主要是通过数学思想、数学方法的应用提出关于填空题解法总结的部分技巧，同时提出关于解答填空题的一些策略.重点强调的是数学思想、方法的应用和掌握.尽量全面的涵盖了数学填空题的类型.主要用以下几种数学思想、方法来解答填空题：本文引用的数学方法主要有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、定义法、反证法等；本文引用的数学思想主要有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想.1数学方法解题方法即解题技巧，可以帮助答题者以最有效率的方式解出答案.在数学填空题量变大的同时，如何把握解题时间，如何提高解题效率都是很重要的.1.1配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺yx、项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222()2abaabb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：2222()2()2ababababab师范学院毕业论文（设计）第4页共15页结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：21sin212sincos(sincos)；2222111()2()2xxxxxx；……等等.例1：已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____.分析：先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为xyz、、，则24)(411)(2zyxxzyzxy,而欲求对角线长xyz222，将其配凑成两已知式的组合形式可得.解：设长方体长宽高分别为xyz、、，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xyyzxzxyz.长方体所求对角线长为：22222()2()6115xyzxyzxyyzxz注：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.1.2换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.师范学院毕业论文（设计）第5页共15页例2：设实数xy、满足22222222212312312322212311112()()()()333331133abctttttttttttt2210xxy，则xy的取值范围是___________.分析：本题如果直接求解或是采用配方法，难度较大.所以我们考虑将该题转化.解：设xyk，则2210xkx,2440k,所以1k或1k.注：数学方法的灵活运用也是作为数学素质训练的一个重要方面.1.3待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法.其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()fxgx的充要条件是：对于一个任意a值，都有()()faga；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.例3：设椭圆中心在2,1，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是105，椭圆的方程为___________.分析：求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程.解：设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则'BFa师范学院毕业论文（设计）第6页共15页∴abcaabac2222222105()解得：ab105∴所求椭圆方程是：221105xy注：圆锥曲线中，参数(bcep)a、、、、的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.在曲线的平移中，几何数据(bce)a、、、不变，本题就利用了这一特征，列出关于ac的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.1.4数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在01()nn或时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明1nk时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或0nn且nN）结论都正确”.由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是1nk时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题.运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.例4：用数学归纳法证明422135()nnnN能被14整除，当1nk时对于式子4(1)235k应变形为_____________.解：42212124(35)35(53)kkkk注：该题根据定义可以很快的写出，但是要注意不能忙中出错.1.5参数法师范学院毕业论文（设计）第7页共15页参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系.参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题.例5：实数bca、、满足b+c=1a，222abc的最小值为____________.分析：由b+c=1a想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设113at，213bt，313ct，代入222abc可求.解：由b+c=1a，设113at，213bt，313ct，其中1230ttt，22222222212312312322212311112()()()()333331133abctttttttttttt所以222abc的最小值是n13.注：由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧.本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：2222222b()2()12(b)acabcabbcacac，即2221b3ac.1.6定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题，是最直接