中学数学数形结合论

鄂州大学05级毕业设计（论文）1中学数学数形结合论摘要：中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形有联系，这个联系常称之为数形结合，或形数结合．因此，中学数学的基本知识也可以相应地分做三大类，一类是关于纯粹数的知识，一类是关于纯粹形的知识，一类是关于数形结合的知识．实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等是关于数的知识，平面几何和立体几何是关于形的知识，数形结合的知识是哪些呢？我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．例如，表示实数与直线上的点之间所具有的一一对应关系的数轴、表示有序实数与平面上的点之间所具有的一一对应关系的平面坐标系、表示复数与平面上的点之间或复数与平面上以某定点为始点的向量之间所具有的一一对应关系的复平面．建立在这些对应关系上的数学知识有函数的图象以及曲线与方程作为研究对象的解析几何等．有一些关于数的知识，其自身就是借助于形来表述的，也可以算做数形的结合，如锐角三角函数是借助于直角三角形来定义的，任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．以上所述是把数形结合作为一类数学基本知识来考虑的，但是，数形结合也可看作是一种数学思想方法．事实上，数学方法总是一定数学知识的内容的反映．关键词：数形结合、线段图、几何图形正文：数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。九义初中《数学教学大纲》把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。数学家华罗庚说得好:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”.数与形是中学数学研究的两类基本对象，相互独立，又互相渗透。尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密，而且在实际应用中若就数而论，缺乏直观鄂州大学05级毕业设计（论文）2性，若就形论缺乏严密性，当二者结合往往可优势互补，收到事半功倍的效果。数形结合是数学思想的一个重要组成部分。在中小学阶段，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图中的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简洁明了。通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。然而，这并不是唯一的手段。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。只要遵守一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。对于线段图不能清晰地显示其数量关系的某些题，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。本文通过具体的例子揭示了分析、改造的后的线段图。例1一色糖果平均分给三个小朋友，如果每人吃掉4块，那么三人剩下的糖块数之和恰好是原糖果数的1/3，原糖果有多少块？分析与解：如用线段图表示数量关系，则如下图（一）所示，其中带斜线的线段表示每人吃掉的糖块数，由于给出的是三人剩下的糖块数之和，与原糖果数的关系，在以上线段图中，三人剩下的糖块数是三条未带斜线且各自分离的线段，较难发现三条带斜线的线段长的和与整条线段长之间的数量关系，因此这不是最佳的选择图形。我们希望选择的图形能够一目了然地看出“三人剩下的糖块数之和恰好是糖果数的1/3”，就是说，能把“三人剩下的糖块数之和”在图形中连成一片，并且能直载了当地看出它与原糖果数之间的关系。为此，我们画一个大圆，并且大圆的面积表示原糖块数。把大圆三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖块数。在大圆中再画一个小同心圆（小圆半径约等于大圆半径的０.6），用小同心圆的面积表示三人剩下的糖块数之和，于是圆环（阴影部分）的面积则表示三人吃掉的糖块数之和。如（二）图所示：这样一来，数量关系完全明朗清晰了。剩下的糖果数吃了4块剩下的糖果数吃了4块剩下的糖果数吃了4块总糖果数是多少？图（一）鄂州大学05级毕业设计（论文）3总糖果数是多少？图（二）答：原有糖果18块。本文就初中数学教学中如何渗透与应用数形结合的思想方法谈谈个人的体会一、有理数内容体现的数形结合思想数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是数很多，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。例1如右图，填空1a+b＞a+c2a-b＞a-c3a＞b-cab0c4b＞a-c5c＞a+b鄂州大学05级毕业设计（论文）4二、应用题内容隐含的数形结合思想列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如解应用题的几种常见问题：行程问题、追击问题、劳动力调配问题、工程问题、浓度问题等。在教学中,老师必须渗透着数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。例2．一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈。问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是在何时掉入水中的。分析（1）答：小船按水流速度由A港漂流到B港需用48小时。（2）如图（三），设救生圈是在上午x点钟落入水中C点的。当小船由C点顺流行驶到B港时，救生圈由C点顺流漂到D点；当小船由B港用1小时逆流行驶到E点找到救圈时，救生圈同时用1小时由D点顺流漂到了E点。于是CB=×（12-x）,CD=×(12-x),BE=×1,DE=×1∵DB=BD∴CB-CD=DE+BE从而得到方程×（12-x）-×(12-x)=×1+×1.解方程，得x=11.∴救生圈是在上午11点钟掉入水中（C点）的。例4（2006·嘉兴）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？鄂州大学05级毕业设计（论文）5（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其它条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好将公鸡送到吊环上？【分析】（1）狮子的质量显然远远大于公鸡的质量，所以狮子能把跷跷板的P端压到底，这时构成如图（1）的直角三角形，其中AB∥QH，根据相似三角形的性质可求得QH的高度，若此高度大于吊环的高度，则能将公鸡送到吊环上；若此高度小于吊环的高度，那么就不能将公鸡送到吊环上；（2）利用相似三角形的性质进行求解.解:狮子能将公鸡送到吊环上．如图（1），当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，AB⊥PH，QH⊥PH，∴△PAB∽△PQH.∴.即，解之得QH＝2.4米＞2米.所以狮子能将公鸡送到吊环上.（2）同（1）有△PAB∽△PQH，所以有，因此，得.所以当支点A移动到跷跷板PQ的处（靠近点P）时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上.鄂州大学05级毕业设计（论文）6三不等式内容蕴藏着数形结合思想例3、已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出发，令f(x)=2kx2－2x－3k－2则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示。对应的条件是0)1(0fk或0)1(0fk解：由以上分析可知，令f(x)=2kx2－2x－3k－2,为使方程f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使0f(1)0k或0)1(0fk解得k＞0或k＜－4小结：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。综上所述利用数形结合解不等式,不仅开阔了视野,提高解体的准确率,而且还激发学生探求知识的欲望,在平时教学中取得良好效果。四函数及其图象内容凸显了数形结合思想4.1利用数形结合求函数的值域对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往鄂州大学05级毕业设计（论文）7会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果。例1．求函数y=|x+3|－|x+1|的值域。分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围2422)(xxf3131xxx函数的图象如图，由图象即可得y∈［－2，2］。小结：数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想。4.2利用数形结合求函数的单调区间例1、设函数f(x)=x2－2|x|－1(－3≤x≤3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数。解：当x≥0时，f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2当x＜0时，f(x)=x2+2x－1=(x+1)2－2即2)1(2)1()(22xxxf00xx根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图鄂州大学05级毕业设计（论文）8函数f(x)单调区间为［－3，－1），［－1，0），［0，1），［1，3］。由图形可看出函数在区间［－3，－1），［0，1）上为减函数，在区间［－1，0），［1，3］上为增函数。小结：用数形结合的方法，先画出函数的图象，由图象可直观得解。由于在直角坐标系中，有序实数对(x,y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。相关内容的中考试题，侧重了对数形结合思想方法的考察。“数以形而直观，形以数而入微”我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述。数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，使在初中数学中也常在研究函数的性质，求解函数的有关数形结合思想鄂州大学05级毕业设计（论文）9参考文献[1]九义《代数》第一册（下）[2]九义教材《代数》第一册（上）[3]陈桂云:构造几何图形解题《中学数学教学》1996,2[4]刘志联:构造几何模型巧解代数题《中学数学月刊》2003,1[5]薛金星:《中学教材全解》陕西人民教育出版社