中学数学解题研究辅导(五)

《中学数学解题研究》辅导（五）———《中学数学解题研究》专题辅导（3）一、参数法1、参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。2、使用参数法解题的步骤（1）设参：即选择适当的参数（参数的个数可取一个或多个）；（2）用参：即建立参数方程或含参数的方程；（3）消参：即通过运算消去参数，使问题得到解决。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。3、应用参数法解复杂应用题例1、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人．现在知道快车每时走24公里，中车每时走20公里，那么慢车每时走多少公里？解考虑到快、中、慢三辆车出发时与骑车人的距离相同，记为S0．若设慢车速度为V，骑车人速度为v，则各车追上骑车人时多走的路程为：快车：(24-v)×6=S，中车：(20-v)×10=S，慢车：(V-v)×12=S．从而得到(24-v)×6=(20-v)×10，(1)(V-v)×12=(20-v)×10．(2)由(1)得：v=14，代入(2)得(V-14)×12=(20-14)×10，即V=19．答：慢车每时走19公里．例2：若关于x的方程acos2θ+asinθ-2a-1=0在x∈[0，]时有唯一解，求a的取值范围。解：原方程可化为：=-sin2θ+sinθ–1令sinθ=t(0≤t≤1)，=-t2+t-1因为f(t)=-t2+t-1的单调区间为[0，]，（，1），当t∈[0，]时，f(t)∈[-1，]当t∈（，1）时，f(t)∈[，]所以：当∈[，-1]时，即-1≤a≤时，方程有唯一解。例3、求使方程loga(x-3)-loga(x+3)=1+loga(x-1)有实数解的实数a的取值范围。解：原方程等价于：x-3=a(x+3)(x-1)(x3,a0且a≠1)=令x-3=t(t0)，则x=t+3=f(t)==t++8(t0)用参数法，则（1）*t+（2），得（2t+5）x+（3t+6）y=15.5t+35（3）令（2t+5）/3=（3t+6）/5，得t=-7，代入（3），得-3（3x+5y）=-73.5，得（3x+5y）=24.5相比上述方法而言，不存在任何偶然性。例某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋共用9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋则共用去3.20元。试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个共需多少元？二、反证法1、反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。2、反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。3、使用反证法的具体步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干4、使用反证法解题的例题例1、求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形。证明：如图1，