中学数学论文

南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一一届）题目：不定积分的计算方法与技巧院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：章浪学号08070150指导教师：许华南京师范大学泰州学院教务处制南京师范大学泰州学院毕业论文第1页摘要：不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的运算方法和技巧，不仅能使学习者进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分以及其他课程打好基础，因此切实掌握求不定积分的方法与技巧非常重要。求不定积分的方法有很多，文中主要对不定积分的计算方法与技巧进行研究，归纳了几种求解不定积分的方法，能熟练的掌握和应用这几种方法对于解决不定积分问题很有帮助。关键词：原函数；不定积分；计算方法；计算技巧南京师范大学泰州学院毕业论文第2页Abstract:IndefiniteintegralisaveryimportantpartinUnarycalculus,andalsoisoneofthebasicquestionsinIntegralcalculus.ItisthebasicofsolvingtheDefiniteIntegral.TograspthemethodsofcalculationandcomputingskillsofIndefiniteintegralnotonlycanhelplearnersconsolidatetheconceptionsofderivativeanddifferentialcalculus,butalsocanmakeafoodfoundationoflearningtheDefiniteIntegralandothercourses.SoitisveryimportanttograsptheoperatingmethodsandskillsofIndefiniteintegral.TherearemanymethodstosolvetheDefiniteIntegral,thispapermainlydiscussestheoperatingmethodsandskillsofIndefiniteintegral,andinducessomewaysofsolvingtheDefiniteIntegral.TograspandusethesedifferentmethodsskillfullyisveryusefulforpeopletosolvedifferentquestionsofIndefiniteintegral.Keywords:Antiderivatives;indefiniteintegral;methodsofcalculation;computingskills南京师范大学泰州学院毕业论文第3页目录1绪论...................................................................41.1研究意义..........................................................41.2国内外研究现状....................................................41.3本文的研究方法和主要解决的问题....................................42不定积分的计算方法...................................................62.1直接积分法........................................................62.2换元积分法........................................................62.2.1第一换元法(凑微分法)........................................62.2.2第二换元法（去根号法）......................................72.3分部积分法........................................................83不定积分的求解技巧...................................................93.1递推法............................................................93.2待定系数法.......................................................103.3伴侣法...........................................................124结论.................................................................14谢辞....................................................................15参考文献...............................................................16南京师范大学泰州学院毕业论文第4页1绪论不定积分是高等数学学习的重要内容，学好不定积分有利于更进一步学习与研究其它学科，有利于培养创造能力、分析能力以及解决问题的能力。不定积分的计算对学好积分起至关重要的作用，同时不定积分计算对思维的发展以及后续课程的学习有重要作用。但不定积分计算方法多样、灵活，且难度较大。本文通过对几种不同类型的不定积分问题的研究总结以达到让我们对不定积分求解问题有个重新的认识，熟练掌握几类常见不定积分计算问题的解法与技巧，另外对一些难度较大的不定积分求解问题也能够通过对不定积分的解法与技巧的研究过程中所总结出的方法顺利解决。1.1研究意义众所周知在数学研究中赢得了时间也就赢得了胜利，一种好的数学研究方法不仅让我们在解题时得到事半功倍的效果，让解题思路更加清晰化，便于我们对知识点的透彻理解；而且，能够让我们在解其它类型题目时产生举一反三触类旁通的效果。在变限函数中，我们已经初步了解到了大多数的黎曼积分中的可积函数是存在原函数的，而且这些原函数是可以被求出的，为了便于寻找原函数我们引进了不定积分，而一个好的不定积分的求解方法更有助于我们更好更快更简洁的寻找出原函数，也为我们以后进一步学习积分学打下了基础。因此研究不定积分的解法与技巧便显得尤为重要。1.2国内外研究现状由于不定积分应用的范围越来越广，特别是在一些高科技（航空，航天，船舶制造）等领域对不定积分的要求越来越广，这其中涉及到许多复杂的不定积分计算的问题有待解决，因此研究不定积分计算方法的相关问题越来越国内外众多学者的关注。国外对此的研究要远早于国内，如俄著《吉米多维奇》在不定积分计算章节给出许多基本而又经典的解法与技巧，作为后起之秀我国在不定积分的方法与技巧研究领域也颇有建树，如2006年，王萍在《不定积分技巧点滴》一文中综合了凑微元法，换元法，分部积分法等基本方法巧妙地对一些常见的不定积分作出了详细的解答;2010年，李晓瑾、廖为鲲的《探讨不定积分的特殊解法》及周登杰在《不定积分的两种遗解类型》中在对一些形式复杂的不定积分问题常见求解方法无法解答时，另辟蹊径利用不定积分的线性性将被积函数拆分成几项不定积分的线性组合，以及利用方程法，综合法等特殊方法成功的解决了复杂不定积分求解问题，这也为以后求解一些形式更复杂的不定积分思想方法的多元化奠定了基础。作为数学研究中的一个重要领域，有关不定积分的解法与技巧还有待进一步完善。1.3本文的研究方法和主要解决的问题通过对不定积分的计算方法及技巧的研究不仅确定了一些常见的被积函数的原函南京师范大学泰州学院毕业论文第5页数，并在此基础上通过换元,拆项等方法将一些形式比较复杂的被积函数转化为我们已得原函数的被积函数的表达式形式从而成功求解复杂不定积分的原函数问题。此外，对于一些特殊的不定积分我们通过拆项分解建立递推公式间接的解决不定积分求解问题。南京师范大学泰州学院毕业论文第6页2不定积分的计算方法2.1直接积分法直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分的基本运算法则或通过简单的代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法。这是一种最基本最简单最直接的积分方法。例1求下列不定积分：（1）22525dxxxx，（2）42d1xxx。解：（1）dMxNxx，其中Mx,Nx是x的一些幂的代数和，这种类型的积分，首先将()Mx乘开化为x的某些幂的代数和，然后再积分。23243252525d412525d4252xxxxxxxxxxxxC。（2）拆（添）项法，化一个有理分式的积分为简单的积分。442211dd11xxxxxx42222111()d(1)d111xxxxxxx311ln321xxxCx。2.2换元积分法2.2.1第一换元法(凑微分法)第一换元法即凑微分法，它是求不定积分的基本方法。有些凑微分需要一定的技巧，而且往往要多次试探，初学者只有多看多做拓宽视野多积累经验才能熟能生巧。凑微分的基本步骤如下：若dfuuFuc，ux有连续导数，则dddfxxxfxxuxfuuFuC变量代换u=xFxC回代。例2求下列不定积分：南京师范大学泰州学院毕业论文第7页（1）312dxx，（2）1d1xxxxxe。解：（1）分析：将dx凑为1dd122xx，则3331112d12d1+2x=12d1222xxxxx凑微分341112d28xuuuC令u=4112128uxxC回代。（2）由于d1dxxxeexx，故可用如下解法：1d1xxxxxe1d1xxxexxxexed1xxxxexexe11d()1xxxxexexeln1xxxeCxe。2.2.2第二换元法（去根号法）第二换元积分法是通过适当选择置换式xt，使代换后的积分易于积出，它主要用来解决几种简单的无理函数的积分问题。第二换元积分法是直接进行换元，主要分为代数代换和三角代换两种形式。代数代换：求形如,dnRxaxbx（n为正整数）的积分，可令naxbt；求形如,dnaxbRxxcxd（n为正整数，adbc）的积分，可令naxbtcxd。三角代换：求形如22,dRxaxx的积分，可令sinxat。求形如22,dRxaxx的积分，可令tanxat。求形如22,dRxxax的积分，可令secxatxax。例3求下列不定积分：22d0axxa。解：这个积分的困难在于有根式，我们可以利用三角公式来换元。设sin22xatt，则22222sincosaxaatat，dcosdxatt，南京师范大学泰州学院毕业论文第8页于是有：2222dcoscosdcosdaxxatattatt，21cos2d2tat2sin224ttaC2221arcsin22axxaxCa。2.3分部积分法在求解不定积分问题中被积函数通常由这三类基本函数组成：①sinx，cosx，xxea；②幂函数ux，或多项式；③反函数如对数函数lnlo