中小学数学中的概率与统计

中小学数学中的概率与统计小学教材中的具体内容二年级下——统计读统计图表纵向条形统计图横向条形统计图统计表（单式）重点在认识三年级上可能性通过摸球、转盘游戏体会可能性与可能性的大小生活中的推理通过参加兴趣小组的调查统计和上课教师的推理，了解可能出现的结果。三年级下——统计与可能性奖牌给哪组通过投篮统计结果体会平均数的作用，讨论平均数的求法，并使用统计图表。猜一猜通过转盘游戏、抛纸杯、摸球等活动体会可能性的大小，讨论可能出现的结果。体育中的数学通过队形变换、比赛安排学习简单的计数问题。四年级上——统计栽蒜苗（一）通过统计学生栽种的蒜苗15天后的高度的统计，体会数据的表示，学会画条形统计图，体会条形统计图的优点。栽蒜苗（二）通过记录蒜苗生长的过程，体会折线图的作用与画法。走进网络通过网络了解与与我们生活密切相关的统计数据。四年级下——游戏公平谁先走掷骰子、抛硬币是否公平，为什么公平？想一想如何设计才能使转盘游戏公平。实践活动抛瓶盖。体会为何朝上与朝下的可能性不一样。五年级上——可能性的大小摸球游戏直观判断可能性大小，定量计算可能性的大小。实验验证结果。设计活动如何设计出可能性一定的摸球游戏。数学与生活通过对学生新年活动的统计，体会统计与概率的关系。通过对有奖游戏的分析，体会可能性大小的原因。铺地砖计数问题五年级下——统计扇形统计图通过一家人一天的食物摄入量统计，体会统计表、条形统计图、扇形统计图的不同用途。奥运会通过我国历届奥运会奖牌统计表，体会条形统计图、折线图、扇形图的不同特点与用途。中位数和众数中位数与众数的意义与作用了解同学调查的设计与实施六年级上——统计复式条形统计图复式折线统计图复式统计图的特点与作用六年级下——统计与概率统计通过情景如何介绍自己的班级，体会调查的首要任务是明确调查的目的，然后是收集数据、整理数据、表示数据。可能性所有可能的结果、简单的古典概型、几何概型的概率计算。解决问题的策略计数问题小学教材中的统计与概率统计图表统计量调查可能性与可能性大小简单的古典概型与几何概型简单计数问题初中教材中的具体内容七年级上——数据的收集与整理喜爱哪种动物的同学最多—全面调查举例经历从调查设计、数据收集、数据整理、数据表示与数据简单分析的全过程。阅读与思考介绍了人口普查的知识。调查中小学生的视力情况—抽样调查举例强调调查表中应设计哪些问题。抽样调查的意义。瓶子中有多少颗豆子。课题学习—调查“你怎样处理废旧电池体会调查的全过程。八年级上——数据的描述几种常见的统计图表条形图、扇形图、折线图、复式条形图、复式折线图、直方图的特点。用图表描述数据用恰当的统计图表示数据阅读与思考—作者可能是谁。课题学习—从数据谈节水综合应用。八年级下——数据的分析数据的代表算术平均数与加权平均数、中位数、众数的特点数据的波动极差、方差、用计算机求统计量（平均数AVERAGE、中位数MEDIAN、众数MODE、方差VARP）阅读与思考—平均差、标准差课题学习—体质健康测试中的数据分析调查表（提供）、数据收集（确定样本容量、抽样方式）、数据整理、数据描述、数据分析、撰写调查报告、交流。数学活动—简单的调查统计九年级上——概率初步概率随机事件与随机事件发生的可能性大小、概率的意义、概率与频率用列举法求概率古典概型与几何概型利用频率估计概率树的成活率、水果售价、模拟试验（求6男3女中取3人，取到2男1女的概率）、种子发芽率阅读与思考—浦丰投针试验课题学习—键盘上字母的排列规律拼音输入法中汉字的排列规律七年级上—可能性1.一定摸到红球吗？2.转盘游戏3.谁转出的四位数大七年级下—概率1.游戏公平吗2.摸到红球的概率3.停留在黑砖上的概率八年级上—数据的代表1.平均数2.中位数与众数3.利用计算器求平均数八年级下—数据的收集与处理1.每周干家务活的时间2.数据的收集3.频数和频率4.数据的波动九年级上—概率与统计1.频率与概率2.投针试验3.生日相同的概率4.池塘里有多少条鱼高中教材中的具体内容必修3——统计随机抽样样本的代表性、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、如何得到敏感问题的诚实反应用样本估计总体用样本的频率分布估计总体分布用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差与质量控制、系统误差与稳定性变量间的相关关系变量间的相关关系两个变量的线性相关（散点图、正相关、负相关、回归直线）回归直线的相关系数必修3——概率随机事件的概率1.概率以及相关概念，概率的统计学求法2.概率的意义（概率的正确理解、游戏的公平性、极大似然法、遗传机理中的统计规律）3.概率的基本性质古典概型几何概型阅读与思考—概率与密码选修2-3—计数原理两个基本计数原理排列组合计数应用题二项式定理选修2-3—概率随机变量及其概率分布超几何分布独立性二项分布随机变量的均值和方差正态分布选修2-3—统计案例独立性检验回归分析概率一。概念随机事件、必然事件、可能事件、不可能事件事件发生的可能性大小频数、频率、概率概率的定义二。相关知识1.古典概型、几何概型2.预备知识（集合、排列与组合）3.条件概率与全概公式4.事件的独立性与贝努利概型5.几种典型分布（两点分布、二项分布、超几何分布、泊松分布）6.几种典型分布间的关系三。教材中问题的拓展1。游戏公平吗？2。生日相同的概率3。摸到红球的概率4。蒲丰投针问题5。计数应用统计一。概念统计量：数学期望、方差、标准差统计量的性质总体、个体、样本、样本观察值二。调查与抽样调查的首要任务是确定调查目的怎样抽样如何得到诚实的反应教材中知识拓展池塘里有多少条鱼线性回归方程相关系数独立性检验三。大数定律与中心极限定理大数定律中心极限定理四.统计量的估计已知方差的估计未知方差的估计概率的定义1。描述性定义：随机事件发生可能性大小的度量。2。统计定义：在不变的一组条件下，重复n次试验，以n(A)表示事件A在n次试验中出现的频数，则当n很大时，频率μ(A)=n(A)/n稳定地在某一值p附近摆动，而且一般地说，随着n地增大，这种摆动地幅度将减小。称频率的稳定值p为这次试验中事件A的概率。注意：稳定与极限的区别。概率的定义3。概率的公理化定义：假设试验E的样本空间为Ω，对于试验E的任一个事件A，即对于Ω的任一子集A，都赋予一个实数P（A），如果P（A）满足下面三个公理，则称P（A）为事件A的概率。公理1对于任意事件A，P（A）≥0;公理2对于必然事件Ω,P(Ω)=1;公理3对于任意可列个两两互不相容的事件A1，A2，…An，…，有P（∪Ai）=∑P（Ai）。预备知识事件（集合）的运算与关系：1。A⊂B、A⊃B、A=B2。A+B（A∪B）、AB（A∩B）、A-B、~A3。互不相容4。完备事件组事件的运算与关系的性质：1。φ⊂A⊂Ω、A+B⊃A、A⊃A-B、A⊃AB2。A+φ=A、A+~A=Ω、A+A=A、A+B=BA=A；3。AB=BA、AA=A、A~A=φ、Aφ=A、AΩ=A、A(B+C)=AB+AC、(A+B)(A+C)=A+BC；4。~（A+B）=~A~B、~(AB)=~A+~B；预备知识排列：各元素可区分且有序Pnm=n•(n-1)•…•(n-m+1)=n!/(n-m)!(n0,m=0,m=n)Excel函数（排列PERMUT、阶乘FACT）组合：各元素可区分但无序Cnm=n•(n-1)•…•(n-m+1)/m!=n!/((n-m)!•m!)Excel函数（COMBIN）加法原理:分类乘法原理：分步ABcABc古典概型古典概型的定义：1、可能结果有限、2、等可能古典概型的例1.掷两个骰子，和出现8的概率。2.6瓶饮料中2瓶不合格，任取2瓶均为不合格的概率是多少？用Excel模拟抛硬币（RAND（）、FREQUENCY（））几何概型几何概型的定义—如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。例：表停了，要从收音机中对表，等待时间不大于10分钟的概率。你们家订了一份报纸，送报人6：30—7：30把报纸送到，你7：00—8：00间上班，求你上班前拿到报纸的概率。条件概率与全概公式条件概率:A、B为任意事件且P(B)0，已知事件B发生的条件下,事件A的概率,记作P(A|B)。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)全概公式：A1,A2,…,An,是试验E的完备事件组，则P(B)=∑(P(B|Ai)P(Ai))贝叶斯公式：B1,B2,…,Bn是完备事件组，P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bi)P(A|Bi)事件的独立性与贝努利概型事件A、B相互独立：P(A|B)=P(A)。贝努利试验：只有两各对立结果的试验称为贝努利试验。贝努利概型：n个相互独立的贝努利试验称为n重贝努利概型。几种典型分布两点分布：P(X=1)=p,P(X=0)=q;二项分布P(X=k)=Cnkpkqn-kExcel函数（BINOMDIST）超几何分布P(X=m)=CN1mCN-N1n-m/CNnExcel函数（HYPGEOMDIST）泊松分布P(X=n)=λne-λ/n!Excel函数（POISSON）几种典型分布间的关系二项分布与两点分布:两点分布是二项分布的特例。超几何分布与二项分布:在m/N很小的时候,超几何分布近似于二项分布。二项分布与泊松分布：n足够大时，二项分布近似于泊松分布。游戏公平吗？10张彩票中有一张有奖，甲乙两人先后摸奖，对甲乙两人是否公平？生日相同的概率人数102023304050概率0.120.410.510.710.890.97摸到红球的概率箱子里有10个球，3个红球，7个白球，任意摸1个，摸到红球的概率是多少？一次摸出3个球，摸到2个红球的概率是多少？蒲丰投针问题图1图2计数应用从30名男生、20名女生中选出3男2女分别担任班长、副班长、学习委员、文体委员和劳动委员，有多少种不同的方法？如果不设文体委员而设两个劳动委员呢？2×3×5×7有几个因子，22×33×5×7有几个因子？投针问题实验者年代投掷次数相交次数π的近似值沃尔夫1850500025313.1596史密斯185532041218.53.1554德摩根1860600382.53.137福克斯188410304893.1595拉泽里尼1901340818083.1415929赖纳192525208593.1795统计量的性质1.E(c)=c,E(aX)=aE(X),E(X+b)=E(x)+b,E(aX+b)=aE(X)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y),X,Y相互独立,则E(XY)=E(x)E(Y)2.D(c)=0,D(cX)=c2D(X),若X,Y独立,则D(X±Y)=D(X)+D(Y)样本统计量样本平均值样本方差K阶原点矩K阶中心矩抽样分布1.定理:设总体X服从N(μ,σ2)的正态分布,X1,X2,…,Xn是X的一个样本,则Y=1/n·ΣXi服从N(μ,σ2/n).2.定理:设X是任意总体,E(X)=μ,D(X)=σ2,X1,X2,…,Xn是总体的样本,则当n足够大时Y=1/n·ΣXi近似服从N(μ,σ2/n).3.设总体X服从N(0,1)的正态分布,X1,X2,…,Xn是X的一个样本,则Y=ΣXi2服从自由度为n的χ2分布.抽样分布4.设总体X服从N(μ,σ2)的正态分布,X1,X2,…,Xn是X的一个样本,令Y=Σxi/n,则W=1/σ2Σ(Xi-Y)2服从自由度为n-1的χ2分布.5.X~N(0,1),Y~χ2(n),则t=X/(Y/n)1/2服从自由度为n的t分布.6.设总体X服从N(μ,σ2)的正态分布,X1,X2,…,Xn是X的一个样本,令Y=1/nΣXi,t=(Y-μ)/(S/n1/2),则t~t(n-1).大数定理设X的数学期望和方差都存在,则对任意ε0,P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε2.设an是事件