东南大学信息学院DSP实验课程第三次实验报告

数字信号处理第三次实验报告——FIR数字滤波器的设计姓名：印友进学号：04012540一、实验目的（1）掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响应的matlab编程。（2）熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性。（3）了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。二、实验原理（一）线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种（1）hn为偶对称，N为奇数；jHe的幅值关于0,,2成偶对称。（2）hn为偶对称，N为偶数；jHe的幅值关于成奇对称，不适合作高通。（3）hn为奇对称，N为奇数；jHe的幅值关于0,,2成奇对称，不适合作高通和低通。（4）hn为奇对称，N为偶数；0,20jHe，不适合作低通。(二)窗口法窗函数设计线性相位FIR滤波器步骤:（1）确定数字滤波器的性能要求：临界频率k，滤波器单位脉冲响应长度N；（2）根据性能要求，合理选择单位脉冲响应hn的奇偶对称性，从而确定理想频率响应jdHe的幅频特性和相频特性；（3）求理想单位脉冲响应dhn，在实际计算中，可对jdHe按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得Mhn，用Mhn代替dhn；（4）选择适当的窗函数wn，根据dhnhnwn求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；（5）求jHe，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。窗函数的傅式变换jWe的主瓣决定了jHe过渡带宽。jWe的旁瓣大小和多少决定了jHe在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：（1）矩形窗(RectangleWindow)：)()(nRnwN（2）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗：)()]12cos(1[21)(nRNnnwN（3）汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗：)()]12cos(46.054.0[)(nRNnnwN（4）布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗：)()]14cos(08.0)12cos(5.042.0[)(nRNnNnnwN（5）凯塞(Kaiser)窗：10,)())]1/(21[1()(020NnINnInw其中，是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数。若阻带最小衰减表示为ssA10log20，β的确定可采用下述经验公式：50)7.8(1102.05021)21(07886.0)21(5842.02104.0ssssssAAAAAA（三）频率采样法频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应jdHe加以等间隔采样，然后以此dHk作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值Hk，由Hk通过IDFT可得有限长序列hn，然后进行DTFT或Z变换即可得jHe。（四）FIR滤波器的优化设计FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应)(nh的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子α=0。令N=2M+1，则10()(0)2()cos()()cos()MMjnnHehhnnann如希望逼近一个低通滤波器，这里M，c和r固定为某个值。在这种情况下有rcjdeH,00,1)(定义一逼近误差函数：()()[()()]jjdEWHeHe()E为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，()W为加权函数，rcKW,10,1)(K应当等于比值12/，1为通带波动，2为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求()E在区间c0和r的最大值为最小，它等效于求最小2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。在逼近过程中，可以固定K，M，c和r，而改变2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率i，i=0,1,...,M+1，共计可以写出(M+2)个方程10()[()(0)2()cos()]()[()()cos()](1)0,1,,1iiMjidnMjidniWHehhnnWHeanniM式中表示峰值误差。一般仅需求解出，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差。依此反复进行，直到前、后两次值不变化为止，最小的即为所求的2。这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容(1)N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。源程序：clc,clear;N=45;W1=boxcar(N);[h1,w1]=freqz(W1,1);W2=hamming(N);[h2,w2]=freqz(W2,1);W3=blackman(N);[h3,w3]=freqz(W3,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)),'-',w2/pi,20*log10(abs(h2)),'-.',w3/pi,20*log10(abs(h3)),'--');xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');grid;legend('Rectangle','Hamming','Blackman');clc,clear;N=45;W1=boxcar(N);[h1,w1]=freqz(W1,1);subplot(3,1,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');title('矩形窗');W2=hamming(N);[h2,w2]=freqz(W2,1);subplot(3,1,2);plot(w2/pi,20*log10(abs(h2)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');title('汉明窗');W3=blackman(N);[h3,w3]=freqz(W3,1);subplot(3,1,3);plot(w3/pi,20*log10(abs(h3)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');title('布莱克曼窗');运行结果：分析与结论：矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度，但有最大的旁瓣峰值；汉明窗函数的主瓣稍宽，而旁瓣较小；布莱克曼窗函数则更甚之。矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但是阻带最小衰减也最差；布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，过度带最宽，约为矩形窗设计的的三倍。汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。（2）N=15，带通滤波器的两个通带边界分别是3.01，5.02。用汉宁窗设计此线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。源程序：clc,clear;N=15;h=fir1(N-1,[0.3,0.5],'bandpass',hanning(N));[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,1,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');grid;legend('N=15');subplot(2,1,2);plot(w1/pi,unwrap(angle(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('相位');grid;legend('N=15');clc,clear;N=45;h=fir1(N-1,[0.3,0.5],'bandpass',hanning(N));[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,1,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');grid;legend('N=45');subplot(2,1,2);plot(w1/pi,unwrap(angle(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('相位');grid;legend('N=45');运行结果：分析与结论：观察它的实际3dB和20dB带宽，发现:N=15时，其3DB带宽约为0.2pi,20db带宽约为0.45pi；N=45时，其3DB带宽约为0.16pi,20db带宽约为0.3pi可见N增大，其3db带宽和20db带宽分别减小，滤波器特性变好，过渡带变陡，幅频曲线显示其通带较平缓，波动小，阻带衰减大。相频特性曲线显示其相位随频率变化也变大。（3）分别改用矩形窗和Blackman窗，设计（2）中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。源程序：clc,clear;N=15;h=fir1(N-1,[0.3,0.5],'bandpass',blackman(N));[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,2,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');grid;title('BlackmanN=15');subplot(2,2,2);plot(w1/pi,unwrap(angle(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('相位');grid;title('BlackmanN=15');N=45;h=fir1(N-1,[0.3,0.5],'bandpass',blackman(N));[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,2,3);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');grid;title('BlackmanN=45');subplot(2,2,4);plot(w1/pi,unwrap(angle(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('相位');grid;title('BlackmanN=45');clc,clear;N=15;h=fir1(N-1,[0.3,0.5],'bandpass',boxcar(N));[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,2,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');grid;title('BoxcarN=15');subplot(2,2,2);plot(w1/pi,unwrap(angle(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('相位');grid;title('BoxcarN=15');N=45;h=fir1(N-1,[0.3,0.5],'bandpass',boxcar(N));[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,2,3);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');grid;title('BoxcarN=45');subplot(2,2,4);plot(w1/pi,unwr