东南大学几何与代数第二章习题讲解

几代习题（第一二章）王小六习题一(B)9、10、11两种思路习题解析第一章行列式和线性方程组的求解思路一化成阶梯形根据非零行数讨论(Gauss消元法)思路二看系数行列式是否为0，前提是n个方程n个未知元(Cramer法则)习题一(B)9思路一1310323-1-14λμ…13100-70-100λ+1μ-1λ+1≠0λ+1=0μ-1≠0μ-1=0唯一解无解无穷多解习题解析第一章行列式和线性方程组的求解习题一(B)9思路二131323-14λ习题解析第一章行列式和线性方程组的求解D==-7(λ+1)D≠0D=0由Cramer法则，有唯一解；求解可用Cramer法则，也可用Gauss消元法λ=-1Gauss消元法总结Ax=b(b≠θ)Ax=θ一定有解|A|≠0有唯一解习题解析第一章行列式和线性方程组的求解|A|=0有无穷多解|A|≠0有唯一解|A|=0无解或有无穷多解A是方阵思考题1111abcda2b2c2d2a4b4c4d41计算11111abcdxa2b2c2d2x2a3b3c3d3x3a4b4c4d4x42已知a1a2a3a4a2a2a4a5a3a2a5a6a4a2a6a7.计算A13+A23+A33+A43.思考题a1a21a4a2a21a5a3a21a6a4a21a7=A13+A23+A33+A43关于作业习题二(B)2.2A+3X=B=X=(B-2A)13—6(3).A=1λ010λ001001=+:=E+BAn=(E+B)n=En+Cn1En-1B+Cn2En-2B2+…+CnnBn注意到EB=BE.8.B=(A+AT)/2,C=(A-AT)/2.存在性、唯一性需要表达出来9.法一：拆分列的方法法二：C=A101-11102-17.f(A)=A2+3A–2E11.注意|kA|=kn|A|12.反证法13.xy=xn=y=xn-1?(此题结论可直接使用)14.AX=B=X=A-1B；AXB=C=X=A-1CB-1.10.不建议用待定系数法(1)A(A+E)=2EAA+E=E2(2)(A+3E)(A-2E)=-4E(A+3E)A-2E=E-4(3)(A+kE)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E(A+kE)A+(1-k)E=E(2+k-k2)15.已知A2+A-2E=O14.(3)AXB=C=X=A-1CB-11.170页的39题；AX=BA(xy)=(b1b2)Ax=b1,Ay=b22.设A和B是n阶方阵，若Ax=Bx对任意的列向量x成立，则能得到什么结论？取一些特殊的向量x=A=B思考Page87页第18题：可直接使用结论A1A2A1A2-1=-1-1第二章矩阵§2.4矩阵的秩d-b-ca注意对于二阶方阵abcdA=当|A|=ad-bc≠0时，A-1=1ad-bc19题:结论可记住并可直接使用21题：A=PBP-1AP=PB-1=OABOOB-1A-1OAP=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-2A2x)已知P=(x,Ax,A2x).=(x,Ax,A2x)01003-200188页23题：方法一A初等变换1-23k02k-23k-300-3(k+2)(k-1):=B讨论：k=1,k=-2,其余的情形22题：学会通过将矩阵化为行阶梯形矩阵求秩的方法，建议用行变换，虽然列变换也可以注：r3-kr1中的k可以为0，不必讨论88页23题：方法二|A|=-6(k-1)2(k+2)讨论|A|≠0,r(A)=3;|A|=0,…88页25题：B=P(1,3)AAB-1=AA-1P-1(1,3)=P-1(1,3)=P(1,3)总结：n阶方阵A可逆存在B使得AB=BA=E存在B使得AB=E(BA=E)|A|≠0Ax=0只有零解(Ax=b有唯一解)r(A)=nAE(等价记号最好用)A可以写成若干个初等矩阵的乘积……(最好用)88页第26题（A,E）（E,A-1）行变换88页第27题X(A-2E)=B=X=B(A-2E)-1如何计算(A-2E)-1？(A-2E，E)行变换(E，(A-2E)-1)88页27题：X(A-2E)=BA-2EB初等列变换EB(A-2E)-1或者将方程组化为(A-2E)TXT=BT((A-2E)T,BT)初等行变换(E,XT)注意，不要轻易×X-1X=B(A-2E)-188页28题(找班长)对m×n矩阵的分类秩为0,1,2,…,min{m,n}等价于EiOOO(i=0,1,2,…,min{m,n})有事找班长ErOOO=M1+M2+…+MrMi=010第i行第i列ErOOOA=PQ=P(M1+M2+…+Mr)Q=PM1Q+PM2Q+…+PMrQ88页28题(找班长)88页29题(找班长)(1)AX=Es有解=r(A)≥r(AX)=sr(A)≤s,n=r(A)=s(2)r(A)=s=A=PEs×nQ(s)求解AX=Es等价于求解PEs×nQX=Es(s)Es×nQX=P-1Es[EsO]QX=P-1QX=P-1O,X=Q-1P-1O(s)A=PEn×nQ(r)En×n(r)2=En×n(r)En×n(r)Q-1=QEn×n(r)QQ-12A=PQ-1En×nQ(r)QPC思考1：给定一个n×n矩阵A,一定存在一个可逆阵P和一个矩阵C，使得A=PC,且C2=C.思考2：(满秩分解)设矩阵Am×n的秩为r，则存在Bm×r和Cr×n使得A=BC,并且r(B)=r(C)=r.证明：A=PQErOOOErOOO=ErOErOA=PQErOErO=BCr(A)+r(B)≥r≥max(r(A),r(B))ABr(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min(r(A),r(B))≤从“自由度”的角度来记忆第二章矩阵§2.4矩阵的秩相关题：填空（10）88页30题（秩的不等式）：注意由A2=E得不到A=E，例如P-1(i,j)=P(i,j)88页31题(伴随矩阵)：(1)r(A)=n,容易推得|A*|≠0或A*可逆.自然r(A*)=n.(2)r(A)=n-1,易知A*至少有一个元素不为零，所以r(A*)0.又因为r(A)+r(A*)≤r(AA*)+n,且AA*=|A|E=0，所以r(A*)≤1.最终可得r(A*)=1.(3)r(A)n-1,A*=O.问：如果两个同阶方阵是等价的(阶数≥2)，那么它们的伴随矩阵是否等价？反之呢问：方阵A经过初等变换变成B，那么A*和B*有什么关系呢？另外在作业中易犯的一个错误：由r(An×n)=n-1，假设A有一个零行.事实上，只能得到A的等价标准形有一个零行.88页31题(伴随矩阵)：相关题填空（8），选择（5，8，10）88页31题(伴随矩阵)：Cramer法则的巧妙证法记D=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann第二章矩阵运算和行列式§2.4逆矩阵对于n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,D1=b1a12…a1nb2a22…a2n…………bnan2…ann,a11a12…b1a21a22…b2…………an1an2…bnD2=a11b1…a1na21b2…a2n…………an1bn…ann,…,Dn=.第二章矩阵运算和行列式§2.4逆矩阵考察biai1ai2…ainb1a11a12…a1nb2a21a22…a2n……………bnan1an2…ann,按第一行展开得biDai1D1ai2D2…ainDn=0(i=1,2,…,n).当D0时,移项整理可得ai1+ai2+…+ain=bi(i=1,2,…,n).D1D2DnDDD这就是说x1=D1D,x2=D2D,…,xn=DnD是()的解.关于数学归纳法第一章矩阵§1.6方阵的行列式补充.数学归纳法(Principleofmathematicalinduction)1.第一数学归纳法原理:则P对于任意的自然数nn0成立.设P是一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立.②当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,第一章矩阵§1.6方阵的行列式2.第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立,②由“n0nk时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.行列式的乘法定理定理2.1假设A,B都是n阶方阵，则|AB|=|A|·|B|问题：设.则|A100|=？A=1235A=A1O…OOA2…O…………OO…As,分块对角矩阵第二章矩阵§2.3分块矩阵则A可逆A1,A2,…,As都可逆.A1=A110…00A21…0…………00…As1.则A可逆A1,A2,…,As都可逆.A=0…0A10…A20…………As…00,A1=0…0As10…As-110…………A11…00.其中A1,A2,…,As都是方阵.第二章矩阵§2.3分块矩阵例设矩阵求A的逆.解001300002-1000011200034000A=001300002-1000011200034000A=OA1A2O=OA2-1A1-1OA-1=第二章矩阵§2.3分块矩阵