东南大学数模竞赛一等奖热风扇问题

1第九届大学生数学建模竞赛（2015.05.15-2015.05.19）主办：东南大学教务处承办：东南大学数学系东南大学数学建模竞赛组委会论文题目：热风扇问题参赛队员信息：热风扇问题2摘要热风扇问题实际上是一个最优化问题，优化目标是在满足一定条件时业主的花费最少。问题一中，我们将优化目标定为使房间从初始温度升至目标温度所需费用最少。我们确定了费用函数()fm，利用令导数=0求极值的方法，定量求解了成本的最小值及其相应的m，得出热风扇在房间温度升高到某值时需要关闭的结论，与我们的生活经验相符。由于一些参数可能有较大的误差，我们分析了()fm对参数j和2l的灵敏度，发现即使j和2l中的一个量有20%的误差时，()fm也仅变化10%，证明了我们的模型有较强的稳健性。最后我们给出了在二室模型下的问题一满足的微分方程组。问题二中，我们在二室模型下根据两室的热平衡条件建立了太阳能房和房间的温度随时间变化的常微分方程组，得到了两室温度随时间变化的函数1()Tt=1()ft、2()Tt=2()ft。我们提出了两个算法：算法一中，假设太阳能房产生每焦耳热量耗价W1，产热量1Q,热风扇产生每焦耳热量耗价W2，产热量2Q，总耗价1122WWSQQ，根据1()Tt=1()ft、2()Tt=2()ft，对m进行优化，使S最小,可以采用神经网络非线性优化算法；算法二中，为了降低计算难度，我们以房间升高单位温度的单位成本最小为优化目标，根据1()Tt=1()ft、2()Tt=2()ft，定量求解了在不同r和t下使房间升高单位温度的成本最小时的m值，并给出了m与r和t的关系，即m随r和t的上升而上升。最后我们将只开热风扇不开锅炉、开热风扇和锅炉和只开锅炉不开热风扇三种情况下的两室温度随时间的变化趋势与现实生活比较，证明了我们的模型具有较强的逼真性。问题三中，我们引入了城市化对太阳辐射的主要影响,即粉尘、雾霾对太阳辐射的衰减、太阳辐射在一天内随时间的变化以及环境温度在一天内随时间的变化，对问题二中的微分方程组进行修改，并采用与问题二相同的算法求解。由于问题三中房间和太阳能房温度随时间的变化较为复杂，我们的算法的准确性值得商榷，因此我们仅给出了r=35℃，t=15℃时的解答。关键词：二室模型；最优化问题；灵敏度；单位升温成本；神经网络优化算法3一、问题的重述图1是一个三维房间的平面示意图。代表的是一个独立的房间连接着一个太阳能房。太阳能房除了接收太阳光能外没有其他热源。晴天里，由于阳光的作用，即使天气很冷，房间也是比较温暖。而对于阴天或太阳落山后，房间的温度便降了下来。不考虑房间之间门的作用，两个房间之间通过热风扇连接（见示意图的F处）。在太阳能房内，有一个温控装置，当房内温度达到业主设定的温度r（比如32度）时，热风扇开始连续工作，直到温度降到r-m(0m，比如m=7度)停止工作。热风扇是通过电能运行的，工作时两个房间的空气交换，产生热交换。房间是独立的区域，也安装了温控设备，可通过燃气锅炉供热。当房间温度低于业主设定的温度时燃气锅炉开始供热。供热季中，业主设定室内温度为t（比如5度）时燃气锅炉开始工作，温度为k（比如18度）时锅炉停止工作，温度降到t时锅炉再次开始工作。图1太阳能房和房间平面图（1）不考虑房间墙体因素，合理假设燃气及电力成本（比如0.5元/度）、房间几何尺寸及一些其他参数，建立该问题的数学模型，并确定最优的热风扇方案。（2）考虑房间墙体等因素的影响，再次考虑上述问题。（3）因城市化等的影响，太阳辐射热的逐渐变化。考虑该变化对结果的影响。二、问题的分析2.1问题一的分析我们将优化目标定为从房间初温升至目标温度的费用最小。我们先研究单位体积升高单位温度所需的费用，也就是给房间输送单位热量所需的费用。显然锅炉制造单位热量所需的费用是一个定值，而太阳能房输送来单位热量的成本与两室温度差成反比，据此，可以构造一个从房间初温升至目标温度所需费用的函数()fm，()fm的最小值点即为我们要求的m。42.2问题二的分析由于问题二需要考虑墙体传热，与实际情况类似，因此应使用更符合实际的二室模型，根据两室在热平衡下满足的条件建立微分方程组，描述两室温度随时间的变化。其中太阳房温度的影响因素包括对外界散热、与房间传热和太阳能电池板制热等；房间温度的影响因素包括对外界散热、与太阳能房间传热和锅炉制热灯。微分方程组建立之后，我们可以根据具体情况的初值求解方程组得到两室温度随时间变化的函数。我们仍像上一问那样将优化目标定为房间从初温升至设定温度的总费用最少，这需要求解多个微分方程组，且后一个微分方程组的初值与上一个微分方程组求解的结果相关，是一个动态优化问题，可以采用神经网络优化算法。为了降低计算和编程的难度，我们将优化目标简化为使房间升高单位温度所需的费用最小。考虑到锅炉使房间升高单位温度的费用是一个定值，而热风扇使房间升高单位温度的费用是一个随温差单调减的函数，因此我们只需要求出热风扇使房间升高单位温度的费用与锅炉使房间升高单位温度的费用相等的温度差T，当两室的温度差达到T时关闭热风扇，热风扇开始工作的温度与此时太阳能房温度的差就是我们要求的m，这样同样可以达到减少业主花费的目的。2.3问题三的分析城市化对问题的影响是多方面的，我们仅考虑主要的影响，即城市化中雾霾和粉尘对太阳辐射热的衰减。太阳辐射的变化在一天内是先从0增至最高点再降至0，因此我们可以根据现有的太阳辐射在一天中各时段的数值用函数近似，开口向下的二次函数是一个选择。为了更接近现实，我们应考虑环境温度在一天内随时间的变化，这也可以用函数近似。我们在问题二建立的微分方程组中引入这两个变化，再用问题二的算法即可求解。三、符号约定1、变量部分1()Tt：太阳能房温度；2()Tt：房间温度；r：热风扇开始工作时太阳能房的温度；2r：热风扇停止工作时太阳能房的温度；m：2mrrt：锅炉开始工作室内温度；k：锅炉停止工作室内温度。2、常量部分1Q：太阳能房单位时间收集太阳能；h：墙体高度；d：墙体厚度；51a：太阳能房长度；1b：太阳能房宽度；S：太阳能电池板面积；1S：太阳能房与外界接触面积；1V：太阳能房体积；（111**Vabh）2a：房间长度；2b：房间宽度；2S：房间与外界接触面积。2V：房间体积；（222**Vabh）P：热风扇功率；1p：电价格；3V：热风扇单位时间排风量；2Q：单位时间锅炉产生的热能；2p：燃气价格；0T：室外温度；g：墙壁的热传导系数；c：空气比热容；：空气密度；注：温度参数1()Tt、1r、2r、2()Tt、1t、2t采用℃；电价格采用元/J；燃气价格采用元/m3；其余参数均采用国际单位。四、模型的总假设（1）室外温度恒定，空气密度恒定。（2）太阳能电池收集的能量全部用于对太阳能房放热，且不储能（3）1a=1b=2a=2b=5m；h=3m；d=0.25m。可得常数：1V=2V=75m3；1S=2S=45m2；S=25m2。6（4）锅炉热效率100%。（5）查阅相关资料，得1Q=820W、3V=0.25m3/s、q=37.85MJ/m3、2Q=677W、2p=2.2元/m3、1p=0.5元/（kW·h）、g=0.114J/（m•s•℃）、c=1×103J/（kg•℃）、=1.29kg/m3、P=174.96W、00T℃（6）T1(0)=r五、问题一的解答5.1模型一：简单优化模型5.1.1符号约定1l为热风扇使太阳能房单位体积下降单位温度所需的费用；2l为锅炉使房间单位体积上升单位温度所需的费用。5.1.2模型的假设（1）不考虑墙体散热和传热；（2）考虑空气带来的热量与两房温度差成正比，故假设1l与太阳能房和房间的温度差成反比例关系，2l为常量；（3）锅炉工作温度小于房间初温，即t2(0)T，但在初始时刻已经开始工作；（4）热风扇不能将房间温度升至太阳能房温度。5.1.3模型的建立与求解优化目标是让房间从2(0)T上升至房间目标温度即锅炉停止工作的温度k时所需费用最少。因为1V=2V=75m3，热风扇工作时太阳能房降低的温度数即为由热风扇工作引起的房间温度的上升数，故1l也可认为是热风扇使房间单位体积上升单位温度所需的费用。由于1l与温度差成反比例，即1l=22[][(0)](0)2jjrnTnrTn，其中j为比例系数，n为房间升高的温度即太阳能房降低的温度。目标函数：7122220()((0))(0)2mjfmVdnVlkTmrTn122222(0)ln((0))2(0)2VjrTVlkTmrTm约束条件：由假设（4）得，2(0)2rTm令()fm=0，求解()fm最小值。经估计，49.610j元/(m3•℃),421.110l元/(m3•℃)，28.7jl例如当r=30℃,20T=10℃，t=5℃，k=18℃时，()fm的图像如图5-1图5-1()fm随m的变化曲线代入数值得m=5.65℃，()MINfm=0.4935元5.1.4灵敏度分析考虑到j和2l的值可能会有较大的误差，我们队j和2l分别进行灵敏度分析。由于用户最终关心的是花费()fm，所以我们研究r=30℃,20T=10℃，t=5℃，k=18℃时，()fm对j和2l的灵敏度。（1）对j的灵敏度分析：8对j在20%变化范围内取值以及相应的()fm的值,见表1表1j在20%变化范围内变化时()MINfm的值及其变化百分比j*410元/(m3•℃)7.688.168.649.129.610.0810.5611.0411.52J变化20%15%10%5%05%10%15%20%()MINfm元0.42610.44450.46180.47820.49350.50800.52170.53450.5465()MINfm变化13.66%9.93%6.42%3.10%02.94%5.71%8.31%10.77%（2）对2l的灵敏度分析：对2l在20%变化范围内取值以及相应的()fm的值，见表2：表2j在20%变化范围内变化时()MINfm的值及其变化百分比2l*410元/(m•℃)0.880.9350.991.0451.11.1551.211.2651.322l变化20%15%10%5%05%10%15%20%()MINfm元0.44620.45980.47210.48330.49350.50290.51140.51910.5262()MINfm变化9.58%6.83%4.34%2.07%01.90%3.63%5.19%6.63%5.1.4模型的结果分析(1)从函数关系式、极值点以及函数图像可以看出，升温至一定温度时，需关闭热风扇，使房间温度继续上升且业主花销较小，这与生活中的实际情况相吻合。原因是由于房间温度升高后与太阳能房的温度差减小，热风扇的供热能力减小，提供单位热量的费用迅速增大。(2)根据灵敏度分析，当r=30℃,20T=10℃，t=5℃，k=18℃时，()MINfm对j和2l的变化不灵敏，即使j增加20%，()MINfm也仅增加10.77%，即使2l增加20%，()MINfm也9仅增加6.63，当r、20T、t、k取其他值时，()MINfm对j和2l也不灵敏。因此，我们的模型具有很好的稳健性，即使j和2l估测不准时，我们给出的m仍然具有较高的参考价值。5.2模型二：二室模型5.2.1微分方程组的建立太阳能房和房间构成的二室模型，如图2所示。太阳能室房间冷空气V3Q2Q1热空气V3图2太阳能房和房间构成二室模型对于太阳能房，温度的变化由3部分组成：吸收太阳能，两室间空气交换，经墙体与外界热交换。考虑吸收太阳能引起的温度变化，由11cQVdT可得，111cdTQdtV考虑两室间空气交换引起的温度变化，3122232cd-dVdtTTTcVVdtT（）（）可得（忽略高阶小量），31122()VdTTTdtV由上述分析可得一下四种情况下1()Tt、2()Tt满足的方程组：