两个重要极限教案(修改稿)

西藏大学理学院数学系公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“00型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。教学目标知识与技能：让学生了解公式1sinlim0xxx的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。教学重点正确理解公式1sinlim0xxx，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。教学难点公式1sinlim0xxx的证明、公式及其变形式灵活运用。西藏大学理学院数学系教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。课前准备教师：多媒体课件；学生：计算器。教学环节教学内容师生双边活动复习导入1、说说当0xx时，函数)(xf的极限的定义。如果当x无限接近于定值0x时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，那么A称为函数)(xf当0xx时的极限，记作Axfxx)(lim0。2、Axfxx)(lim0的充要条件是什么？Axfxx)(lim0)(lim0xfxx=Axfxx)(lim03、说出函数极限的四则运算法则。BAxgxfxgxfBxgAxf)(lim)(lim)]()(lim[,)(lim,)(lim:1则设法则BAxgxfxgxfBxgAxf)]([lim)]([lim)]()(lim[,)(lim,)(lim2则：设法则BAxgxfxgxfBBxgAxf)(lim)(lim)()(lim,0,)(lim,)(lim3则且：设法则4、求下列函数的极限：①35lim20xxx；②24lim22xxx教师引导，学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目的。西藏大学理学院数学系新授③11lim220xxx一、问题的提出“00型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“00型”都可以用这两种方法解决呢？问题：如何求xxxsinlim0？（学生使用计算器进行实验）二、动态演示，验证猜想OABCxABxxAOBO作则弧，设作单位圆,),20(,于C，则xBCsin，拖动点B，改变x的大小，观察xxsin值的变化趋势。得出结论：1sinlim0xxx三、证明猜想过程见课本5251PP强调：①极限中函数xxsin的分子分母都是当0x时的无穷小。②这里的自变量x是用弧度度量的，以后引用这个极限时必须用弧度作单位。学生分组巩固练习设疑激趣分组讨论教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公西藏大学理学院数学系③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所有含有自变量的表达形式应一致。④1sinlim0xxx四、公式的应用例1：求⑴xxx3sinlim0⑵xxxtanlim0解：⑴xxx3sinlim031131sinlim31)sin31(lim00xxxxxx⑵xxxtanlim0=)cos1sin(lim0xxxx=xxxxxcos1limsinlim00=111回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为xxsin与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。2、当为等价无穷小、、时，xxxxtansin0。如1sintanlim0xxx。例2：求⑴xxx3sinlim0⑵xxx2sin3tanlim0解：⑴xxxxxx33sin3lim3sinlim00=3xxx33sinlim03=3⑵xxx2sin3tanlim0=xxxxx2sin233tan23lim0=xxxxxx2sin2lim33tanlim230203=23回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后式特征。教师引导鼓励学生发表观点。第（1）小题学生独立思考，第（2）小题教师引导并板书。学生尝试，教师引导。体会换元法、转化思想在数学解题中的重要作用。西藏大学理学院数学系一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。3、一般地babxaxxsinlim0，babxaxxtanlim0，babxaxxsintanlim0。例3：求20cos1limxxx解：20cos1limxxx=2202sin2limxxx=20222sinlim21xxx=21回顾反思：利用公式1sinlim0xxx求函数极限，有时不仅要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。师生回顾归纳交流解题经验综合运用，提高分析、解决问题的能力课堂练习练习：求下列极限：③xxx5sinlim0②xxx3tanlim0③xxx3tan5sinlim0④202cos1limxxx小结1．正确、灵活地运用公式1sinlim0xxx。2．当为等价无穷小、、时，xxxxtansin0。3．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。4.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求0sinlimxxx。作业P54A组1