两角差的余弦教案说明

13.1.1两角差的余弦公式教学设计说明眉山市龙正中学吕惠一、教材分析1.教学内容本节课选自人教版必修四第三章第一节，其中心任务是通过已知的《三角函数》和《平面向量》的知识，探索推导出两角差的余弦公式并简单应用，分一课时完成。2.地位与作用三角恒等变换是高考考查的重点,处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，两角差的余弦公式是前面所学三角函数知识的继续与发展，是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，它为后面研究其它和、差角公式及倍角公式作了铺垫，是培养学生推理能力和运算能力、渗透化归与转化思想的重要素材，具有承前启后的作用。二、学情分析1.知识基础：高一前阶段学生已经学习了《平面向量》和《三角函数》等内容，这为过渡到本节的学习起到了很好的桥梁作用。2.认知水平与能力：学生有一定的类比、分类讨论和归纳概括的意识和能力，但是对归纳概括的结论缺乏进行严格论证的意识和能力,需要教师适当引导。3.学生特点：我所任教班级学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好理解教材的内容，对探索未知世界有主动意识，能独立解决一些问题。三、目标分析及重、难点1.教学目标（1）理解两角差余弦公式的推导过程，掌握两角差的余弦公式并能用之解决一些简单的问题。（2）在对公式的推导和应用中，进一步提高学生分析问题与解决问题的能力，体会认知新事物时从特殊到一般的思想方法，渗透类比思想和分类讨论思想。（3）学生在经历数学知识的发现、认知的过程中，体验成功探索新知的乐趣，激发求知欲，从而进一步提高学习兴趣。2.教学重点、难点（1）重点：两角差的余弦公式的推导及公式的应用突出重点的方法：“抓三线，突重点”，即①知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；②过程方法线：从特殊、猜想到一般,经历“三角函数线法”→“向量法”→数学思想③能力线：观察能力→初步解决问题能力（2）.难点：运用三角函数线法、向量法探索、推导公式。突破难点的手段：“抓两点，破难点”即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发学生兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师适当给予提示和指导。四、教学模式与教法、学法1.教学模式：本课采用“探究—发现”的教学模式2.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出引导探究3.学生的学法：自主探索、发现与交流2五、教学过程设计教学环节教学内容学生活动设计意图问题情境引出课题话说喜羊羊想在森林的一座小山BC上建一座电视发射塔。如图所示，因工程需要，需从塔顶D点处向地面某点A处拉一根钢绳，现测得点A，C两点间距离为60米，从点A观测电视发射塔的视角∠CAD约为030，又测得∠CAB约为015，为了在购买钢绳时不至于浪费，你能帮喜羊羊算算到底需要多长的钢绳吗？教师提问：（1）你能不用计算器，求出0cos15的值吗？（2）000cos15cos(4530)的值到底是多少呢？00cos(4530)与0cos45，0cos30之间到底存在怎样的关系呢？（顺势引出课题）学生：猜想：学生1：0013cos15cos30.24学生2：00000cos15cos(4530)cos45cos3023.2学生3：000000cos15cos30cos15cos30;23cos1502cos150.错了，应有也错了，应该是学生4：000cos15cos(4530)，但是三角函数名和角应该不是简单的乘法分配律的关系设计意图：为了使问题情境面向全体学生，对教材作了适度改编，把教材上求电视发射塔高度的问题，改为喜羊羊在建设发射塔过程中，需要从塔顶向地面某点拉钢绳的问题，就把求0tan(45)的问题变为求0cos15的问题，这样既遵循教材、又更贴近本节课内容，便于启发学生思考，很自然的引出问题：不用计算器，如何求0cos15的值？在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引起学生思考、联想，进而大胆猜想，这样矛盾集中指向了000cos15cos(4530)=？的科学探究，从而水到渠成的引出课题。00060cos15602cos15cos45AD3教学环节教学内容学生活动设计意图类比探索形成公式探究一：在单位圆中运用三角函数线探求000cos15cos(4530)=？教师提问：（1）回忆前面学习的单位圆中的三角函数值的表示，对这个问题的探究有什么启发？（2）在单位圆中如何构造00045,30,15角？构造出00045,30,15角后，引导学生用余弦线表示出0cos15即线段OM，再通过问题串：0cos30所在三角形不是直角三角形，怎么办？OM与OA有一定关系了，但是OM能不能直接由OA表示呢？OM与OB和PA之间好像还是没有直接关系？再怎么办呢？引导学生构造直角三角形，采用“割补法”表示出OM=OB+BM=OB+CP，进而利用三角函数的定义建立三角函数与线段之间的联系，得到00cos(4530)（即0cos15）与045，030对应三角函数之间的关系，利用特殊角的三角函数值求出一般角的三角函数值，问题得以解决。接着教师再顺势提问：能将000cos15cos(4530)00cos45cos30+00sin45sin30推广到一般形式：cos()coscossinsin吗？引导学生将问题一般化。学生：回忆单位圆中三角函数线的知识，想到在单位圆中构造00045,30,15角。在单位圆中，以ox为045角的始边，其终边与单位圆的交点为1p，0100030453015popxop则过点P作PM垂直于X轴，垂足为M，那么0cos15就是OM这条线段，过点P作1OP的垂线，设垂足为A，过点A作X轴的垂线，设垂足为B点；再过点P作AB的垂线，设垂足为C，则OM=OB+BM=OB+CP=0cos45OA+0sin45AP0000cos30cos45sin30sin45OPOP=00cos45cos30+00sin45sin30得到：000cos15cos(4530)00cos45cos30+00sin45sin30=624设计意图：“拨开云雾，重见艳阳”，引导学生自然引入“利器”单位圆中的三角函数线，充分运用已有知识解决未知问题，在学生的“最近发展区”设置问题串，让学生在探索过程中，享受成功的喜悦，培养学生严密的推理能力。4教学环节教学内容学生活动设计意图类比探索形成公式探究二：运用向量方法探究对任意角,，cos()=coscossinsin是否成立？注意：①通过几何画板带特殊值验证成立后，学生容易认为对任意角,，cos()=coscossinsin就成立了，此时教师需强调数学结论必须经过严格的逻辑证明，特殊不能代表一般；②引导学生观察表达式的要素和结构特征，发现等式右边与前面学的向量的数量积1212abxxyy的形式很像，从而想到尝试向量的方法。③学生容易在单位圆中设点A,B的坐标(cos,sin),(cos,sin)AB，而向量的数量积涉及的是向量的坐标，教师引导转化为,OAOB的坐标；学生：取特殊值验证，比如：002008,201200361,168由coscossinsin想到前面学的向量的数量积1212abxxyy，(cos,sin),(cos,sin)OAOBcoscossinsinOAOBcos()cos()OAOBOAOB又cos()=coscossinsin设计意图：以疑导思，再次激发学生探索的欲望，感受获得结论需经历的“猜想-证明”的过程。通过取特殊值验证，让学生初步认同此公式，做到心里有数，方向明确，在教师引导下大胆联想，惊喜发现向量这个很好的工具！5教学环节教学内容学生活动设计意图类比探索形成公式④由推导coscossinsincos()cos()cos()=coscossinsinOAOBOAOBOAOB又所以肯定会有学生觉得已经大功告成了！教师不急于指出，让学生动脑思考，看看推导是否严谨？如果没有学生发现，再抛出问题：OAOB与的夹角一定是-吗？进而再次突出向量夹角的范围为0，，引导学生观察图像，探究,OAOB的夹角与-间的关系；寻找出角之间的关系后，进一步寻找它们余弦之间的关系，从而使问题得以解决，得到-)=coscossinsincos(⑤遮住公式右边，让学生再说出公式，加深对公式的理解记忆，强调此时公式的适用范围是任意角,，公式具有强大的生命力。教师：这个公式虽然简单，但是威力巨大、蕴意深邃，是我们大家辛勤劳作和智慧的结晶，我们当然要好好的把玩一番!（自然过渡到巩固练习）（学生容易忽略向量夹角的范围0，）纠正错误后，完善推导过程：000=0coscos-=2cos(-)cos-)=coscossinsinOABOABOABk设与的夹角为，，，则，又，得cos(学生理解记忆公式。设计意图：在证明过程中，放手让学生操作。高一学生思维还不够严密，考虑问题欠全面，但教师不急于“帮忙”，让学生自己去发现问题，克服困难，最终解决问题，进而充分体验探索的过程，享受成功的喜悦！6教学环节教学内容学生活动设计意图闯关游戏勇闯四关第一关：小试牛刀【问题1】cos()_____,cos()_____2教师点评：原来诱导公式也可以看成两角差的余弦公式的特例。第二关：乘胜追击【问题2】请用00030,45,60的三角函数编拟求值的题目。注意：本题属于开放型题，结果不唯一，如果有学生编出求0sin75的值，教师则在其他学生调侃但无恶意的笑声中，不失时机指出精妙之处，让学生恍然大悟；若没有学生编出这样的题，教师不妨设置悬念：现在你能求0sin75的值吗？第三关：各显神通【问题3】求下列式子的值：00000000cos105sin15sin105__cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)__①cos15②教师点评：任何一个公式，我们都必须掌握它的三用，即：正用、逆用、变用学生：自主思考、回答问题cos()cos,cos()sin.2学生：（学生编出很多有关题目，略）0000sin75sin(9015)62cos154学生：（1）0cos9000002cos(21)(24)2cos452（）设计意图：改常说的“巩固练习”为学生喜闻乐见的“闯关游戏”，让学生智力再度兴奋，从而精神专注，情趣盎然。第一关简单但不乏蕴意，揉两角差的余弦公式和诱导公式为一体。设计意图：第二关充分体现新课改理念，通过开放型试题，让学生当一回出题者，其中0000sin75sin(9015)cos15显示了转化思想的威力，且为后面学习“两角和与差的正弦”很好地做了铺垫，教师的处理让“不小心出错题”的学生不仅不感到尴尬，而且“洋洋得意；”第三关考查学生对公式的灵活应用，同时加深对公式的理解!7教学环节教学内容学生活动设计意图闯关游戏勇闯四关第四关：智慧闪光【问题4】455213已知sin=,(,),cos=-,是第三象限角，求cos(-)的值。教师引导学生分析，然后学生自主解题，再请学生展示他们的解题思路。学生再对照解答过程找出自己解答不完善的地方，或者思维受阻的地方。变一变：去掉题中条件2（，）?教师首先请学生分析思路，然后师生共同完成，教师在多媒体上打出完整解答过程，。学生：22452431sin1(55解：由sin=,(,),得cos=-)=-;2513sin1cos又由cos=-,是第三象限角，得25121().1313=+sin3541233=--+-=-.