《流体力学》典型例题20111120

1《流体力学》典型例题（9大类）例1~例3——牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用例4~例5——流体静力学基本方程式的应用——用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差。例6~例8——液体的相对平衡——流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容）（1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关）（2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关）例9——求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断例10~16——速度势函数、流函数、速度场之间的互求例17——计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度例18~20——动量定理应用（课件中求弯管受力的例子）例21~22——总流伯努利方程的应用例23——综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算例题1：如图所示，质量为m＝5kg、底面积为S＝40cm×60cm的矩形平板，以U＝1m/s的速度沿着与水平面成倾角＝30的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度＝1mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。UG=mg解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力duUdy＝又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：0mFa，即：gsin0mS324gsin59.8sin301100.1021Nsm1406010mUS粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性。例题2：如图所示，转轴的直径d＝0.36m，轴承的长度l＝1m，轴与轴承的缝隙宽度＝0.23mm，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pas的油，若轴的转速200rpmn。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。dln解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力60ddnduy＝粘性阻力（摩擦力）：FSdl2克服油的粘性阻力所消耗的功率：3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)ddndnnlPMFdl例题3：如图所示，直径为d的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度旋转，此时所需力矩为T，求间隙厚度的表达式。ωδd解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径r处取径向宽度dr的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积环上受到的切向力为：dd2drrFArr2dd2drTFrrr424200dd232dddTTrr432dT例题4：如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度（取管中水的密度水＝1000kg/m3）。3h1h2h3h4水h1h2h3h4水1122解：经分析可知图中1-1和2-2为两组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程0ppgh，采用相对压强可得：左侧：112()pghh水，右侧：243()pghh水中间：1232()ppghh联立可得：123243ggghhhhhh水水123432hhhhhh水hz容器A容器Bhz容器A容器B22111h2h例题5：如图所示，U型管中水银面的高差h＝0.32m，其他流体为水。容器A和容器B中心的位置高差z＝1m。求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度水＝9810N/m3，水银的重度水银＝133416N/m3）。解：图中1-1、2-2为2组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程0ppgh，可得：A11pph水，12pph水银，B22pph水AB211334160.3298100.32129743.92Papphhhhhz水银水水银水4例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H＝1.2m，长L＝3m，静止时盛水深度h=0.9m。现水箱以20.98msa的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度31000kgm，水箱中自由水面的压强0p＝98000Pa。试求：（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度maxa。HhLaxzO解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为0Xa,Y,Zg代入非惯性坐标系中的压力全微分公式dddddpXxYyZzW，得dddpaxgz①积分得1paxgzc利用边界条件确定积分常数1c：在坐标原点O（0xz）处，0pp，得10cp由式①可得水箱内的压强分布098000100009898980009809800ppaxgz.x.zxz对于水箱中的等压面，有d0p，所以由式①可得等压面的微分方程ddaxgz积分得2azxcg上式给出了一簇斜率为ag的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数20c。因此自由水面方程为0980198a.zxx.xg.（2）假设水箱以加速度maxa运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h，则根据加速前后水的体积不变的性质可得()2hHLLh②又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系maxgaHhL③②和③式联立求解，得：2max221.20.9g9.81.96ms3HhaL例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D＝1m，高H＝2m，静止时水深为h＝1.5m。求：（1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大？（2）当＝6rad/s时，筒底G、C点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？5DHhGC解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,rzH，则由：22,,ddddXxYyZgpXxYyZz，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202grzH根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：2222002d2g4DrDrHrh由此可求得：22016gDHh，带入自由表面方程得：2222g8Dzhr若使达到某一最大值而水不溢出，则有2rD时，zH，带入上式，得222g29.82.01.58.854rads114828HhDD（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为2222220gg2g2g16grrDpHzhz将G点条件：0,0rz带入得：2222G61g10009.81.512450Pa16g169.8Dph同理，将C点条件：2,0rDz带入得：222222C61g10009.81.516950Pa8g16g169.8DDph例题8：如图所示为一圆柱形容器，直径为300mmd，高500mmH，容器内装水，水深为300mmh，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速n。6Hho0Hzr解：如图所示，将坐标原点o放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,rzH，则由：22,,ddddXxYyZgpXxYyZz，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202grzH根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：2222002d2g4drdrHrh由此可求得：22016gdHh，带入自由表面方程得：2222g8dzhr若使达到某一最大值而水不溢出，将2rd时，zH，带入上式，得2222g29.80.50.318.67rads0.3828HhDD3030186717825.n.rmin例9已知平面直角坐标系中的二维速度场xtytuij。试求：（1）迹线方程；ddddxyzxyztuuu（2）流线方程；dddxyzxyzuuu（3）0t时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度；（4）涡量（即旋度），并判断流动是否有旋。解：（1）将,xyuxtuyt代入迹线方程ddddxyxyu,utt得：ddddxyxt,yttt采用变量代换法解这个微分方程。7令Xxt，Yyt，则xXt，yYt，代入上式，得：11ddd1dln(1)11dd1tcttxXXXtXtcxteaexaetttX，1cae22ddd1dln(1)11dd1tcttyYYYtYtcytebeybetttY，2cbe于是得迹线的参数方程：1,1ttxaetybet其中，,ab是积分常数（拉格朗日变数）。消掉时间t，并给定,ab即可得到以,xy表示的流体质点,ab的迹线方程。例如：已知欧拉法表示的速度场22xyuij，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。将2,2xyuxuy代入迹线微分方程：ddddxyxyu,utt，得：dd22ddxyx,ytt分离变量并积分，得：12ln2ln2xtcytc从上两式中消去时间t得迹线方程：12xycc即：xyc可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。（2）将,xyuxtuyt代入流线微分方程ddxyxyuu得：ddxyxtyt将t看成常数，积分上式得流线方程：lnlnlnxtytc或xtcyt（3）由质点导数的定义可得流动在x和y方向的加速度分量分别为：DDxxxxxxyuuuuauuttxy110xtyt1xtDDyyyyyxyuuuuauuttxy101xtyt1yt所以，0t时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为：D1122Dxxaaxtyttuaijijij（4）由涡量（旋度）的定义，对于题中所给的平面流动有：0yxzuuxyΩukk所以流动无旋。求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由xux，得21()d(,)(,)2xtxfytxxtfyt又由yuyty，得(,)fytyt，积分得21(,)()2fytyytCt8于是，221()()()2xyxytCt求速度势函数（二）按势函数定义求(,0)(,)(0,0)(,0)00(,)dd()d()dxxyyxxyxxyuxuyxtxyty221()()()2xyxytCt例题10已知：速度场2233,6,0xyzubxbyubxyu。求证：此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。解：①0,0zuz——平面流动②660yxuubxbxxy