《现代数字信号处理》-第二章-自适应数字滤波器

第三章自适应数字滤波器3.1引言3.2自适应横向滤波器3.3自适应格型滤波器3.4最小二乘自适应滤波3.5自适应滤波的应用3.1引言（维纳滤波器的特点与不足）自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是平稳的，且具有信号和噪声统计分布规律的先验知识。在实际中，常常无法知道这些先验知识，且统计特性还会变化，因此实现最佳滤波是困难的。自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。常常将这种输入统计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B.Widrow)等人提出自适应滤波器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡，雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、增强和线性预测等。本章主要介绍自适应横向滤波器、自适应格型滤波器、最小二乘自适应滤波器以及自适应滤波器的应用举例。3.2自适应横向滤波器自适应滤波器的原理框图如图3.2.1所示，图中()xn称为输入信号，()yn是输出信号，()dn称为期望信号，或者称为参考信号、训练信号，()en是误差信号。其中()()()endnyn自适应滤波器()Hz的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变，使输出()yn最接近期望信号()dn。这里暂时假定()dn是可以利用的，实际中，()dn要根据具体情况进行选取，能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项有创意的工作。如果真正的()dn可以获得，我们将不需要做任何自适应滤波器。自适应线性组合器和自适应FIR滤波器是学习自适应信号处理的基础，它们都是非递归型的，相对地说，容易分析和理解，我们首先由此展开对自适应滤波基础理论的讨论。H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)＋－图3.2.1自适应滤波器原理图3.2.1自适应线性组合器和自适应FIR1.自适应滤波器的矩阵表示式图3.2.2表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器，图中N个权系数12,,,N的自适应控制。对于固定的权系数，输出jy是输入信号12,,,jjNjxxx的线性组合，因此称它为线性组合器。这里的12,,,jjNjxxx可以理解为是从N个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统，也可以是同一个信号源的N个序贯样本，如图3.2.3所示。z－1z－1x(n－1)x(n－2)x(n－N)z－1d(n)e(n)＋－y(n)…x(n)w2w3wN－1wNw1图3.2.3自适应FIR滤波器因此它是一个单输入系统，实际上这种单输入系统就是一个FIR网络结构，或者说是一个自适应横向滤波器。其输出()yn用滤波器的单位脉冲相应表示成下式：10()()()Nmynwmxnm(3.2.1)x1jx2jxNj¡­djejyjw1w2wN＋－图3.2.2自适应线性组合器这里()wn称为滤波器单位脉冲响应，令：1im，记(1)iwwi，(1)ixxni，n用j表示，上式可以写成1Njiijiywx(3.2.2)这里iw也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适合于自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形式：TTjjjyXWWX(3.2.3)式中，TT1212[,,,],[,,,]NjjjNjWX误差信号表示为TTjjjjjjjedyddXWWX(3.2.4)2.利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为22[][()]jjjEeEdy2TTT[]2[][]jjjjjEdEdEXWWXXW(3.2.5)令12[][,,,]TdxjjjjjjjNjEdEdxdxdxRX(3.2.6)2112121121212[]jjjjNjjjjjNjTxxjjNjjNjjNjxxxxxxxxxxEExxxxxRXX(3.2.7)将(3.2.6)、(3.2.7)式代入(3.2.5)式，得到22TT[][]2jjdxxxEeEdRWWRW(3.2.8)dxR称为jd与jX的互相关矩阵，是一个N维列矩阵；xxR是输入信号的自相关矩阵，特点如下：(1)是对称矩阵，即TxxxxRR；(2)是正定或半正定的，因为对于任意矢量V满足下式：TTT2[][||||]0TxxEEVRVVXXVXV自相关矩阵主对角线是输入信号的均方值，交叉项是输入信号的自相关值。(3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时（即dxR和xxR为常数），均方误差信号2[]jEe是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只有一个权系数1w，则2[]jEe是1w的口向上的抛物线；如果有两个权系数12,ww，则2[]jEe是它们的口向上的抛物面；对于两个权系数以上的情况，则属于超抛物面性质。2[]jEe在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它的最小点，一些有用的自适应方法都是基于梯度法的，我们用j表示2[]jEe的梯度向量，它是用2[]jEe对每个权系数求微分而形成的一个列向量，用公式表示如下：T22212[][][],,,jjjjNEeEeEe(3.2.9)按照(3.2.4)式：TjjjedWX，梯度推导如下：122,,,2[]TjjjjjjjNeeeEeEeX(3.2.10)还可以用(3.2.8)式：22TT[][]2jjdxxxEeEdRWWRW对W求导得到22jxxdxRWR(3.2.11)令上式等于0，得到最佳权矢量W的表达式：*1xxdxWRR(3.2.12)对比第二章维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。上式也称为维纳权矢量。当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方误差将取最小值。将(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方误差：22min2[][]2[]2()TTjjdxxxTdxxTjxEeEdEdRWWRWR[]TjdxEdRW(3.2.13)或者将上式取转置，用下式表示：22min[][]TjjdxEeEdWR(3.2.14)比较式（3.2.13）和（3.2.14）可知，TTdxdxRWWR，这是因为它们都是常数。我们知道，在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果，当权矢量取最佳值时，梯度为0，按照(3.2.10)式：2[]jjjEeX2[]0jjjEeX上式表明，权系数取最佳值时，误差信号与输入信号是正交的，即仍然服从正交原理。也可以根据正交原理推导出维纳解（3.2.12）式：*1xxdxWRR。上式关于自适应滤波器的结论适合于随机信号的自适应滤波器，也适合与确定性信号的自适应滤波器，但对于随机信号取统计平均的地方，确定性信号必须用时间平均代替。为了说明自适应滤波器基本原理，下面举一个确定性信号自适应滤波器的例子。例3.2.1一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图3.2.4所示，图中输入信号与期望信号分别为2π2πsin,2cosjjxjdjNN这两个信号都是周期性确定性信号，因为任何正弦函数积的期望值，都可由这个积在一个或多个周期上作时间平均来计算，可以推导出下面公式[6]：11112π2π12π[]sinsin()cos0,1222π2π2π[]cossin()sin0,142π2π2π[]coscos()2cos0,1NjjnjNjjnjNjjnjExxjjnnnNNNNEdxjjnnnNNNNEddjjnnnNNNN2121121cos0.52cos1jjjxxjjjxxxNExxxNRTT12[,]0,sindxjjjjEdxdxNR22TT1112222212122[][]22π1cos2π20.5[]20sin2πcos12π2π0.5()cos2sin2jjdxxxEeEdwwNRWWRW上式表明性能函数2[]jEe对权函数是二次型的，用(3.2.11)式求其梯度向量，w1z－1xjw2djyj＋－ej图3.2.4两个权的自适应滤波器得到121212222π2π01coscos22π2π2π2πsincos1cos2sinjxxdxRWR求最佳权矢量可以用(3.2.12)式：*1xxdxWRR，通过对xxR求逆得到，也可以通过上式，令0j，而求出：TT122π2π[]2cot2cscwwNNW用(3.2.13)式求最小均方误差：22Tmin2π2cot2π[][]20sin02π2cscjjdxNEeEdRNNW上式说明只要2N，不管N取多少，通过对权系数的调整可使均方误差达到0，此时输出信号jy完全等于期望信号jd，例如4N，按照上面公式，可以求出输入、输出信号以及最佳权系数如下：T12121[][02]πsin()2π2cos()2π2cos()2jjjjj可以看出jy和jd相同。3.2.2性能函数表示式及其几何意义在自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数，前面已推导出性能函数用(3.2.8)式表示，现重写如下：22[][]2jjEeEdTTdxxxRW+WRW下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。均方误差是权系数的二次函数，当权系数取最佳值时，均方误差取得最小值，将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均方误差表示性能函数，推导如下：为了表示方便，令2[]jEe，那么由式（3.2.14）可知：22Tmin[][]jjdxEdEeWR，则2TminT[]2TjxxdxdxEeRWWRRWW将(3.2.12)式代入上式，得到TminTmnTTi[][]TxTxxxxTTxxxxxxxWRWWR()()xxWWRWW(3.2.15)其中，TTxxxxWRWWRW，成立的条件是TxxWRW是标量。令1NT2V=W-W=[v,v,,v](3.2.16)其中，V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性能函数可以表示得更简单：TminxxVRV(3.2.17)因为xxR是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特征向量再进一步简化，假设xxR是NN维，它的N个特征值为：12,,,N，将xxR进行正交分解，得到TxxRQΛQ，其中，TxxΛ=QRQ(3.2.18)通过调节使Q归一化，即TT1QQ=I,Q=Q(3.2.19)111212122212NNNNNNqqqqqqqq