七年级数学下册《不等式与不等式组》经典例题分析

-1-不等式与不等式组经典例题分析【例1】满足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于。【分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.解：原不等式去分母，得3（2＋x）≥2（2x－1），解得：x≤8.满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程的解，那么（）.【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.解：关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为关于x的方程的解为由题意得，解得.因此选D.【例3】如果，2+c2，那么（）.A.a-ca+cB.c-ac+aC.ac-acD.3a2a【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.解:由所以a0.由2+c2，得c0，答案：B【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于.【分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.由19，解得7m9.-2-由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为102－72＝51.由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．【例5】解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：解：（1）当x≤时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，解得x-7，结合x≤，故x-7是原不等式的解；（2）当＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1，解得是原不等式的解；（3）当x＞5时，原不等式化为：x-5-（2x+3）＜1，解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．综合（1），（2），（3）可知，是原不等式的解．【例6】关于x的不等式组bxaabx23223的解集为25x，求a、b的值。【分析】解此类不等式，是用构造方程法：先解出不等式组的解集，再根据已知条件列成方程组，解出结果。解：解原不等式组的解为2a-3b≤x≤2b-2/3a由已知条件25x得方程组2a-3b=-52b-2/3a=2解得：a=-2,b=1/3【例7】若不等式1-2mx1mx无解，则m的取值范围是.【分析】解无解类不等式组，常用反解法：解：由原不等式组得2m-1xm+1，即2m-1m+1，因无解则2m-1m+1不成立，所以2m-1≥m+1，解得：m≥2如：关于x的不等式组0125axx无解，求a的取值范围。答案：a≥3-3-【例8】若不等式组5321xaxa的解集为23ax，求a的取值范围。解：由题意得：a－1≤3且3a＋2≤5，解得a≤4且1a≤3，则1a≤3【例9】不等式组1159mxxx的解集是x2，则m的取值范围是解：解原不等式组得：x2xm+1由不等式组解集是x2，根据大大取大的法则得：m+1≦2，解得：m≤1【例10】不等式组x+9﹥5x+1x﹤m+1的解集是x﹤2，则m的取值范围是解：解原不等式组得：x﹤2x﹤m+1由不等式组解集为x﹤2，根据同小取小的法则得：m+1﹥2，所以m﹥1【例11】不等式组x+9﹤5x+1x﹤m+1的解集是x2，则m的取值范围是解：解原不等式组得：x2x﹤m+1由不等式组解集为x2所以m的范围为空集，无解。注意：一个不等式组中有解的情况下，两个不等式都是大大、小小都有解，一大一小时，取值范围为空集（如例11形式）。【例12】如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a，b）共有多少个？请说明理由。分析解答：把原不等式组化为最简形式，得由于不等式组有解，解集必为又由于它的整数解仅为1，2，3，所以从而于是，整数a取1～9共9个整数，整数b取25～32共8个整数。故有序数对（a，b）共有9×8即72对。-4-【例13】若不等式组有五个整数解，则a＝_________分析解答：把原不等式化为最简形式，得由于不等式组有解，解集必有又它有五个整数解，这五个整数解只能是－3，－2，－1，0，1故a的取值范围是【例14】若不等式组的解集为，则的值为_______。分析解答：把原不等式组化为最简形式，得由于，所以于是解得a＝1，b＝－2故【例15】已知，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为。解：第二个方程减去第一个方程得到x﹣y=1﹣2k，根据﹣1＜x﹣y＜0得到：﹣1＜1﹣2k＜0即解得＜k＜1k的取值范围为＜k＜1．【例16】如果不等式组的解集是x＞4，则n的取值范围是。解：由x+7＜3x+7移项整理得，2x＞0，∴x＞0，∵不等式组的解集是x＞4，∴n=4，【例17】若不等式组有解，则m的取值范围是。-5-解：原不等式组可化为和，（1）始终有解集，则由（2）有解可得m＜2．由（1）、（2）知m＜2【例18】若关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，则n的值为。解：①2n+1＞n+2时，2n+1=﹣1n=﹣1．将n=﹣1代入不等式2n+1＞n+2中不成立，因此n=﹣1不符合题意．②2n+1＜n+2时，n+2=﹣1n=﹣3，经检验符合题意，所以n的值为﹣3【例19】已知，x满足，化简|x﹣2|+|x+5|．解：由（1）得，x＜2由（2）得，x＞﹣5则：|x﹣2|=2﹣x，|x+5|=x+5；所以|x﹣2|+|x+5|=2﹣x+x+5=7．分析：解此类题时，先求出不等式组的解集，然后根据x的取值范围来去绝对值．【例20】北京故宫博物馆内门票是每位60元，20人以上（含20人）的团体票可8折优惠.现在有18名游客买20人的团体票，问比买普通票共便宜多少钱？此外，不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？解：18位游客买普通票费用为1080元，买20人的团体票费用为960元.1080-960＝120元，所以便宜120元.设不足20人时，x人买20人的团体票比买普通票便宜.由题意可列不等式60×0.8×20＜60x.解得x＞16，而x＜20，所以x＝17，18，19.