《离散数学》刘任任版第十八章

11习题十八（环与域）1、设实数集R中的加法是普通的加法，乘法定义如下：Rbababa,,||试问R是否构成环？解：不构成环。因这里乘法对加法不满足分配律。例如()()21212122而()2212221262.设整数集Z中的加法是普通数的加法，乘法定义为Zbaab,,0，试问Z是环吗?解：Z是环。因对于加法Z构成一个交换群，对于乘法Z满足结合律，且乘法对加法可分配：(),,()abcacbcabcZcabcacb0000003.已知实数集R对于普通加法和乘法是一个含幺环，对任意Rba,，定义1ababababab试证：R对运算和也形成一个含幺环.证明。因为()()()()abcabcabcabcabcabc111111所以，满足结合律。又因为ababbabaaaaaaaaa111111221()()所以，满足交换律，零元是1，a的负元为2a以上说明R，是一个交换群。再因为()()abcabcabc()()ababcababcabcabacbcabcabcabcabc()()()abcbcabcbc()abcbcabacabcaaaaaaaa000000所以，是可结合的，且有幺元0。最后，abcabcabc()()()abcabc11()21abcabac12()()abacabacababacacabcabac1121即对是可分配的。故结论成立。4、一个环R，如果对乘法来说，每个元素Ra均满足aaa，则称R为布尔环，试证：（1）集合S的子集环是布尔环.（2）布尔环的每个元素是都以自己为负元.（3）布尔环必为交换环.（4）2||R的布尔不可能是整环.证明。(1)集合S的幂集()S对于集合的对称差运算和交运算作成一个环，即子集环。且AAAAS,()故子集环是布尔环。(2)由布尔环之定义，对任意aR,有aaaaaaaaaaaaaaaaaa()()因此，aa0.(3)由布尔环之定义，有abababaaabbabbaabbab()()因此，abba0,即abbaba.故布尔环是交换环。(4)如果R不含幺元，则R不是整环；如果R含幺元1，则因R2,故R中存在元素a，aa01,,于是()aaaaaaa10故a和a1都是零因子，从而R不是整环。5.试证：若R是环，且对加法而言，R是循环群，则R是交换环.证明：设R,+的生成元为a,则对R中任意的rr12,，存在整数nn12,,使得rnarna1122,于是rrnanannaarrnanannaa121212212112()()()()从而，rrrr1221,故R是交换环。6.设R和R是两个环，定义R到R的映射如下：0)(aRa其中0是R的零元，试证明是R到R的同态映射（称为零同态）.分析：利用环中零元的性质，证明满足同态的定义17.5.1。证明：在R中任取ab,则有13()',()()'''()',()()'''abababab00000000从而()()()()()()abababab()()()()()()abababab故该映射是R到R的同态映射。7.设},,|0{ZcbacbaA，已知A关于矩阵加法和乘法构成环，令}|000{ZddS（1）试证：S是A的子环.（2）给出A到S的一个同态映射.（3）求同态核Ker（）.证明：(1)在Z中任取xy,有000000000000000000xyxySxyxyS故S是A的子环.(2)令fabccabcA00000,易知，f是A到S的满射，且14fabcabcfaabbccccccfabcfabcfabc1112221212121212111222111000000000000000abcfaaabbcccccccfabcfabc2221212121212121112220000000000000故f是A到S的同态映射。(3)同态核为Zbabaf,00=)ker(8.找出Z到Z的一切环同态映射，并给出每一个同态的核.分析：根据定义18.2.3，同态映射f必须满足：(11)(1)(1)fff，因此(1)0f或者(1)1f。(1)当(1)0f，,()(1)(1)()0nZfnfnffn有，ker()fZ；(2)当(1)1f，,(1)(1)()1(),()nZfnffnfnfnn有,ker(){0}f。解。设f是Z到Z的同态映射。记mf()1,则mffffmm()()()()11111从而，mm()10,于是，m0或者m1.故只有两个满足要求的同态映射：(1)m0,()0,fnnZ，Ker()fZ；(2)1m,(),fnnnZ,Ker(){0}f.9.设R是一个体，且~RR.求证：}0{R或者RR.分析：根据体的定义，R含有么元，则对R到R的满同态f，有Ker()fR或Ker(){0}f。证明：设f是R到R的满同态。由同态基本定理，Ker()f是体R的理想，而体必为单纯环，故Ker()fR或{0}。当Ker()fR时，{0}R；当Ker(){0}f时，RR'.10.设~RR.N是R的理想，求证：N的像源NaRaN)(|15是R的理想，并且NRNR.分析：根据定理18.2.4，可以定义R到R/N的同态g，核为N，于是定义R到R/N的满同态hg，根据定义可证明ker()hN，由第三同态定理即证。证明：设g是R到R/N的自然同态，gaaaR(')',''于是，hg是R到R/N的满同态。下证ker()hN.任取aR,ker()()0(())0()ahhagaaNaN故ker()hN.由定理18.2.3，N是R的理想。再由同态基本定理，有RNRN/'/'11.试证：定理18.2.9分析：根据域F的定义，只需证明F是单纯环，对于F的非零理想N，容易证明么元1N，根据理想性质有NF。证明：只需证域F是单纯环。任取域F的一个理想N(0),存在aNa,0,于是aF1因为N是F的理想，所以aaNNxxNxFFN111,但N是F的理想，于是，NF故NF.综上，域F是含幺交换单纯环。12.求证：若mZ是一个域，则m必为质数.证明：若m不是质数，则存在正整数ababm,,,1,使mab。于是abm0.但ab00,,这说明ab,是Zm的零因子，此与Zm是域矛盾。故m是质数。13.在7R中，利用公式aacbb242解二次方程052xx.分析：将方程系数代入，有24192bac，22342，124。解。bac2241415192(),23或4xx12132213216,14.在7R中求下面矩阵之逆：4132。分析：利用线性代数中矩阵R求逆方法，将1001R通过初等行变换化为如下形16式，11001R，1R即为所求。解。23101401154014011540063115400146105501466row(1)2row(2)row(1)row(2)row(1)row(2)5故2314在R7上之逆为5546.15.试证：2R上的四个矩阵：,1110,0111,1001,0000在矩阵的加法和乘法下作成一个域.证明：令以上四个矩阵组成的集合为A。对于加法，A的零元为零矩阵0000，A中的每个元素均以自身为其负元，因此，A是一个加法交换群。对乘法而言，幺元是1001,且1110与0111互为逆元，自乘则等于另一元素，从而运算又是封闭和可交换的，故A在R2上对于矩阵的加法和乘法作成一个域。16.29R中有无1？解。在R29中，设ab21,于是abab2222029,,于是，a和b应分别取2和5,而25605122512175234217521712,,,,故R29中有1为12或17.17.设域F的特征为0p，求证：nnnPPPbaba)(Fba,pnpppnaaaaaa2121)(Fai.证明。由定理18.3.4,(),,,abababFppp由数学归纳法，有()()()()(())()abababababaaaaaaaaaaaaaFppppppppppppnpnnpnpnpppnpinnnnnnnn111111211111218.求证：若np阶域有mp阶子域，则nm|.分析：利用定理18.5.2的证明，以及整数的性质证明（可参考定理18.5.10证明）。证明。设F,,是pn阶域，S,,是pm阶域,因S是F的子域，所以，17ppmn11令nqmrrm,0.于是pppppppppnqmrrrrmqmmqmmr111112()()由ppmn11及0rm易知，pr10,从而，r0.故mn.19.求证：12x是域2,1,0F上不可约多项式.分析：由定理18.4.3知只需证明无零因子，将0,1,2代入即可。证明。设fxx()21.因为fff(),()()01122,故结论成立。20.域1,0F上多项式124xx是可约多项式吗？分析：由例18.4.3知，只需判断次数不高于2的不可约多项式（2,1,1xxxx）是否为124xx的因式。解。因为xxxxxx4222111()(),所以，xx421是可约多项式。21.试找出域2,1,0F上的所有不可约的二次多项式。分析：定义在域2,1,0F的二次多项式具有如下形式：2210()pxaxaxa，其中2{1,2}a10,aaF，系数不同组合有2*3*3=18种，讨论18种组合种x取不同值情形下()px的值，如果,()0xFpx，则()px为可约多项式；如果,()0xFpx，则()px为不可约多项式。解。共六个。即2222221,2,22,22,21,221xxxxxxxxxx。22.设域1,0F，试构造123xxx