万有引力定律专题二

万有引力定律专题二1万有引力定律专题二【基本点】点1、用万有引力定律分析天体运动的基本方法把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，即：rfmrTmrmrVmrMmG22222)2(2应用时根据已知条件选用适当公式进行分析。点2.计算天体质量和密度的思路和方法（1）对于行星或卫星的天体，可把行星或卫星绕中心天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需的向心力由中心天体对其的万有引力提供的。①若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为r和运行的线速度为V，根据牛顿第二定律有rVmrMmG22,解得中心天体的质量为GrVM2。②若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为r和运行的周期T，根据牛顿第二定律有2224TrmrMmG,解得中心天体的质量为2324GTrM。（2）对于没有行星或卫星的天体（或虽有行星或卫星，但不知道其运行的有关物理量），可以忽略天体自转的影响，根据万有引力近似等于重力的关系列式，计算天体的质量。若已知天体的半径为R和该天体表面的重力加速度g，则有2RMmGmg，解得天体的质量为GgRM2。（3）计算天体密度的方法我们近似把中心天体看作球体,,设中心天体的半径为R,球体的体积公式334RV,F由上面方法求得中心天体的质量为M代入密度公式VM即可。【典型题解】例1.宇航员站在一个星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。万有引力定律专题二2分析：如图所示，设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平位移为x则有222xhL①由平抛运动规律得知，当初速度增大到原来的2倍时，其水平位移增大到2x，可得222(2)(3)xhh②由①②式解得3Lh③设该球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得221gth④由万有引力定律与牛顿第二定律有mgRMmG2（m为小球质量）⑤由③④⑤解得22332GtLRM答案：22332GtLRM评析：本题有些学生会想到在星球表面某高处，星球某高处的重力加速度随高度的变化而变化。这样，小球究竟做什么运动无法得知。其实在本题中不需要考虑重力加速度随高度增大而减小的因素影响，而应抓住主要因素，认为整个过程g不变。解题时易出错的另一个地方是“抛出点与落地点之间的距离”误认为水平位移。例2.海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例，但是在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用了发现海王星的方法经过多年的努力，才由美国的洛维尔天文台在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天文单位（地球和太阳之间的距离为一个天文单位）。求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。分析：设太阳的质量为m，行星运行的线速度为V，行星的质量为m根据向引FF得RmVRGMm221021冥地地冥RRVV答案：1021评析：直接利用行星做圆周运动靠万有引力提供向心力。例3．已知地球半径约为m6104.6，又知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算月球到地心的距离约为m。（结果保留一位有效数字）分析：建立物理模型，质点绕地球作匀速圆周运动，（忽略月球半径，视其为质点），设地球质量为M，半径为r，表面的重力加速度为g，月球绕地球的转动周期为T，轨x2xV02V0hLL3万有引力定律专题二3道半径为R，由222/4TRmRGMm2rGmg32224grTRmsT832561041097.6106.230天答案：m8104评析：向心力可以用周期，线速度，角速度来表示。例4．1989年英国著名的物理学家卡文迪许首先估算出地球的平均密度。根据你所学的知识，能否估算出地球密度？分析：设地球的质量为M，地球的半径为R，地球的表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得：2RMGg①将地球看作均匀球体有：334RV②由①②得地球的平均密度GRgVM43将常数代入有33/105.543mkgGRgVM答案：33/105.5mkg【巩固练习】1.已知万有引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是()A.月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离B.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离C.人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期D.若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度2.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量G，则可求得（）A.该行星的质量B.太阳的质量C.该行星的密度D.太阳的平均密度3.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为（）A.32GTB.24GTC.42GTD.23GT4.绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船中有一质量为10千克的物体挂在弹簧秤上，这时弹簧秤的示数（）A.等于98NB.小于98NC.大于98ND.等于05.一颗质量为m的卫星绕质量为M的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期（）A.与卫星的质量无关B.与卫星的运行速度成正比万有引力定律专题二4C.与行星质量M的平方根成正比D.与卫星轨道半径的23次方有关6.太阳光到达地球需要的时间为500s，地球绕太阳运行一周需要的时间为365天，试估算太阳的质量（取一位有效数字）。7.宇宙飞船飞到一个不知名的行星表面，能否用一只表通过测定时间测出行星的密度？8.两个靠得很近的天体，离其它天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6－4－2所示。已知双星的质量为1m和2m，它们之间的距离为L。求双星运行轨道半径1r和2r，以及运行的周期T。9.两个行星质量分别为m和M，绕太阳运行的轨道半径分别是r和R，求（1）它们与太阳间的万有引力之比（2）它们的公转周期之比【创新点】点1、星体表面及某一高度处的重力加速度的求法（1）解释地球上的物体所受地球的万有引力（F）的方向沿半径指向球心，它的一个分力—重力（G）竖直向下，另一个分力—向心力（Fn）垂直指向地轴。设重力与万有引力间的夹角，所在处的纬度为，由图可知：,sincossinsin2RmFmgn∴,2sinsin22RmmgnF或2sin2arcsin2gR所以在地球上不同纬度的地方，同一物体的重力发生变化。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力就等于万有引力的大小。因此，若地球表面的重力加速为0g，则根据万有引力定律：200RGMg（0R为地球的半径），该式也适用于其它星体的表面。1m2mo图６－４－2图6-4-3万有引力定律专题二5（2）离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律：20hRGMg，（0R为地球的半径）点2、不同星球的表面力学规律相同，只是g（重力加速度）不同，在解决其他星球表面上的力学问题，若要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要用该星球的重力加速度。点3、发现未知天体海王星和冥王星的发现,是万有引力定律在天文学上具体应用的体现,这充分体现了万有引力定律对研究天体运动的重要意义.点4、天体运行中的近似估算法（1）利用理想化模型进行估算物理实际问题涉及的因素较多，为了研究解决问题的方便，需要突出主要因素，忽略次要因素，将研究对象进行科学的抽象，使其成为理想化模型而进行近似估算。（2）利用物理常数进行估算估算问题往往告诉的已知量很少，甚至有时什么量也不知道，解题时就应该灵活地运用一些物理常数，有时也要根据经验来适当地拟定一些物理常数进行估算。【创新题解】例1.地球绕太阳公转的轨道半径1.49×1011m，公转的周期是3.16×107s，求太阳的质量是多少？分析：根据牛顿第二定律，可知：rTmmaF22向心向心⑴向心F是由万有引力提供的，所以2rMmGFF万向心⑵∴由⑴，⑵联立可解kgkgGTrM30271131122321096.11016.31067.61049.114.344例2．宇宙飞船由地球飞向月球，当飞到某一位置时，飞船中的宇航员感到自己不受重力作用，此时宇航员在空中的位置距地球中心m。（已知地球与月球中心距离m8108.3，地球与月球的质量之比为81：1）。分析：当地球对宇航员的万有引力与月球对宇航员的万有引力大小相等时，宇航员感到自己不受重力，即满足282108.3）（月地RmMGRmMG即可求出mR81042.3答案：mR81042.3评析：此时宇宙员处于失重状态，此时万有引力恰好提供向心力。ORFmgω万有引力定律专题二6【提升练习】1.为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体作匀速圆周运动的另一星球（或卫星）的条件是（）A.质量和运行周期B.运转周期和轨道半径C.轨道半径和环绕速度D.环绕速度和运转周期2.已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于（）A.2rGmB.2rGMC.224TD.rT2243.已知地球和火星的质量比1/8/火地MM，半径比1/2/火地RR，表面动摩擦因数均为0.5，用一根绳在地球表面上水平拖一个箱子，箱子能获得2/10sm的最大加速度。将此箱子和绳子送上火星表面，仍用该绳子水平拖木箱，则木箱产生的最大加速度为多少？（地球表面的重力加速度为2/10sm）（）A.2/10smB.2/5.12smC.2/5.7smD.2/15sm4．设地球表面的重力加速度为0g，物体在距离地心R4（R是地球半径）处，由于地球的作用产生的加速度为g，则0/gg为（）A.1B.g/1C.1/4D.1/165.地球半径为R，地球附近的重力加速度为0g，则在离地面高度为h处的重力加速度是（）A.202hRghB.202hRgRC.20hRRgD.20hRg6.假如地球自转速度达到赤道上的物体“飘”起（即完全失重），那么估算一下，地球上一天等于多少h？（地球半径取m6104.6，结果取两位有效数字）。7．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两个星球中心距离为R，其运动周期为T，求两个星球的总质量。人造卫星宇宙速度【基本点】点1.人造卫星的发射速度和运行速度万有引力定律专题二7○1人造卫星的发射速度。所谓发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道。要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行。如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度。○2人造卫星的运行速度所谓运行速度，是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。根据可知，人造卫星距地面越高（即轨道半径r越大），运行速度越小。实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度。点2.人造卫星运行的线速度，角速度，周期与轨道半径的关系○1根据rVmrMmG22，可得卫星运行的线速度为rGMV；可见卫星运行的线速度与轨道半径的平方根成反比，即rV1，r越大，V越小。○2根据22rmrMmG，可得卫星运行的角速度为3rGM；可见，卫星运行的角速度与轨道半径的3/2次方成反比,即31