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ZILIAOFENXI懒懒di微笑1基础知识设基期量A，现期量B，增长率r%，增长量△m。A=B1+r%=B−∆m=∆mr%B=A×(1+r%)=A+∆m=∆mr%+∆m=∆m×(1+1r%)r%=B−AA=BA−1=∆mA=∆mB−∆m;1r%=B∆m−1∆m=B−A=A×r%=B1+r%×r%≈(B×r%)−r%50.0033.3366.3725.0075.0020.0040.0060.0080.0016.67分数𝟏𝟐𝟏𝟑𝟐𝟑𝟏𝟒𝟑𝟒𝟏𝟓𝟐𝟓𝟑𝟓𝟒𝟓𝟏𝟔r%83.3314.2928.5742.8657.1471.4312.5037.5062.5087.50分数𝟓𝟔𝟏𝟕𝟐𝟕𝟑𝟕𝟒𝟕𝟓𝟕𝟏𝟖𝟑𝟖𝟓𝟖𝟕𝟖r%11.1122.2244.4455.5677.7888.899.090918.181827.27278.3333分数𝟏𝟗𝟐𝟗𝟒𝟗𝟓𝟗𝟕𝟗𝟖𝟗𝟏𝟏𝟏𝟐𝟏𝟏𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐r%8.33339.090911.1112.5014.2916.6718.181820.0022.2227.2727分数𝟏𝟏𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟏𝟖𝟏𝟕𝟏𝟔𝟐𝟏𝟏𝟏𝟓𝟐𝟗𝟑𝟏𝟏r%25.0028.5733.3337.5040.0042.8644.4450.0055.5657.14分数𝟏𝟒𝟐𝟕𝟏𝟑𝟑𝟖𝟐𝟓𝟑𝟕𝟒𝟗𝟏𝟐𝟓𝟗𝟒𝟕r%60.0062.5066.3771.4375.0077.7880.0083.3387.5088.89分数𝟑𝟓𝟓𝟖𝟐𝟑𝟓𝟕𝟑𝟒𝟕𝟗𝟒𝟓𝟓𝟔𝟕𝟖𝟖𝟗2比较增长量基数A、B均既可同时表示现期量又可同时表示基期量，a、b表示增长率，△𝐀、△𝐁表示增长量确定型（放缩型）不确定型（估算型）现象描述已知A𝐵a𝑏则△A△B已知A𝐵a𝑏则△A与△B大小待计算推导过程当基数A、B均表示基期量时：△A=Aa△B=Bb∵A𝐵a𝑏∴Aa𝐵𝑏∴△A△B当基数A、B均表示现期量时：△A=A1+aa≈Aa△B=B1+bb≈Bb∵A𝐵a𝑏∴Aa𝐵𝑏∴△A△B当基数A、B均表示基期量时：△A=Aa△B=Bb①若△A△𝐵⇔Aa𝐵𝑏⇔ABba⇔AB−1ba−1⇔A−BBb−aa②若△A△𝐵⇔Aa𝐵𝑏⇔ABba⇔AB−1ba−1⇔A−BBb−aa当基数A、B均表示现期量时：△A=A1+aa≈Aa△B=B1+bb≈Bb①若△A△𝐵⇔Aa𝐵𝑏⇔ABba⇔AB−1ba−1⇔A−BBb−aa②若△A△𝐵⇔Aa𝐵𝑏⇔ABba⇔AB−1ba−1⇔A−BBb−aa计算方式直接计算（带约算）基数---相对，增长率---相对。识记结论名师出高徒基数差异大，则基数大者大；基数差异小，则基数小者大。3比较基期量/下期量基数A、B均表示现期量，𝐀′、𝐁′表示基期量，𝐀′′、𝐁′′表示下期量现象描述已知A𝐵a𝑏则（1）A′与B′大小待计算（“基期待定”）（2）A′′B′′已知A𝐵a𝑏则（1）A′B′（2）A′′与B′′大小待计算（“下期待定”）通俗语言表述我长了那么多才比你高，说不定以前我还没你高。我现在本身就比你高，加之我又比你长得快，所以后我肯定比你更高。我只长了一点点后就比你高，说明我之前肯定也比你高。我现在虽比你高，但我长得比你慢，说不定以后我还没你高。推导过程①若A’B’⇔A1+aB1+b⇔AB1+a1+b⇔AB−1a−b1+b⇔A−BBa−b1+b≈a−b②若A’B’，则A1+aB1+b⇔AB1+a1+b⇔AB−1a−b1+b⇔A−BBa−b1+b≈a−b∵ABab∴A（1+a）𝐵（1+b）又∵A′′=A(1+a)B′′=B(1+b)∴A′′B′′∵ABab∴A1+aB1+b又∵A′=A1+aB′=B1+b∴A′B′①若A’’B’’⇔A（1+a）𝐵（1+b）⇔AB1+b1+a⇔AB−1b−a1+a⇔A−BBb−a1+a≈b−a②若A’’B’’，则A（1+a）𝐵（1+b）⇔AB1+b1+a⇔AB−1b−a1+a⇔A−BBb−a1+a≈b−a计算方式基数---相对，增长率---绝对。直接计算基数---相对，增长率---绝对。识记结论基数差异大，则基数大者大；基数差异小，则基数小者大。强者更强瘦死的骆驼比马大基数差异大，则基数大者大；基数差异小，则基数小者大。4几年追赶型基数A、B均表示现期量，𝐀[𝐧]、𝐁[𝐧]表示n年后的量，a、b表示每年对应的（平均）增长率确定型（放缩型）不确定型（估算型）现象描述已知A𝐵a𝑏则n年后A[n]B[n]已知A𝐵a𝑏则n年后A[n]与B[n]大小待计算通俗语言表述我现在本身就比你高，加之我每年又比你长得快，所以n年后我依然比你更高。我现在虽比你高，但我每年都长得比你慢，说不定n年后我还没你高。推导过程（不存在追赶问题，即B永远都追不上A）n年后A[n]B[n]⇔A（1+a）nB（1+b）n⇔AB（1+b1+a）n⇔AB−1（1+b−a1+a）n-1≈（b−a）n⇔𝐀−𝐁𝐁𝑛（𝐛−𝐚）⇔𝐀−𝐁𝐁×𝟏𝐛−𝐚n计算方式基数---相对，增长率---绝对。5速算增长量设现期量为A（1）若增长率为1n，则增长量为△A=A1+n；（2）若增长率为−1n，则增长量为△A=An−1；6复变法6.1复变法之关系图复变法乘法型除法型求本息总增长率型求粮产总增长率型定性型AB定量型“和+积”连涨型展开型比值型比例型对应“比重型”系列题目（即比重型）6.2复变法之乘法型粮产总增长率型/本息总增长率型粮产总增长率型本息总增长率型现象描述现期（或基期）种粮面积：A原借款本金：A现期（或基期）粮食单产：B第一期利率：r1现期（或基期）种粮面积增长率：a第二期利率：r2现期（或基期）粮食单产增长率：b则-第二期后本息总量增长率为：R=(r1+r2)+r1×r2则-粮产总增长率为：（a+b）+ab推导过程（略）计算方式（略）识记结论“和+积”6.3复变法之连涨型第一部分：设本金为A，第一期增长率为r1，第二期增长率为r2，第三期增长率为r3，第四期增长率为r4以此类推，第n期增长率为rn。则：（1）由上得，第二期后总增长率：R2=(r1+r2)+r1×r2，但不管r1与r2的符号是相同还是相反，以下式子都成立：R2r1+r2（若r1=r2=r，则R22𝑟）（r可视为平均增长率）（2）归纳得，第三期后总增长率：R3r1+r2+r3（若r1=r2=r3=r，则R33𝑟）（r可视为平均增长率）（3）归纳得，第四期后总增长率：R4r1+r2+r3+r4（若r1=r2=r3=r4=r，则R44𝑟）（r可视为平均增长率）（4）归纳得，第n期后总增长率：Rnr1+r2+r3+r4+⋯+rn（若r1=r2=r3=r4=⋯=rn=r，则Rn𝑛𝑟）（r可视为平均增长率）第二部分：由上可得以下结论：（1）每年增长1%，则十年总增长不止10%；十年总增长10%，则每年增长不到1%；（2）总增长率平均增长率之和；（3）总增长率的平均数平均增长率。第三部分：（1）注意“总增长率”“平均增长率”与“总增长率的平均数”三者的区别；（2）注意“总增长率”“平均增长率”与“总增长率的平均数”三者的关系。6.4复变法之展开型（泰勒公式展开——连涨型的升华版）第一部分：二项式泰勒展开式(x+a)n=∑(nk)xn−kaknk=0={0nxn−0a0+{1nxn−1a1+{2nxn−2a2+{3nxn−3a3+⋯+{n−1nxn−(n−1)a(n−1)+{nnxn−(n)an=1+{1nxn−1a1+{2nxn−2a2+{3nxn−3a3+⋯+{n−1nx1an−1+{nnan当x=1且a=r时：(1+r)n=1+{1n1n−1r1+{2n1n−2r2+{3n1n−3r3+⋯+{n−1n11rn−1+{nnrn=1+{1nr1+{2nr2+{3nr3+⋯+{n−1nrn−1+{nnrn1+{𝟏𝐧𝐫𝟏+{𝟐𝐧𝐫𝟐又当r10%时：(1+r)n≈1+{1nr1+{2nr2(𝟏+𝐫)𝐧≈𝟏+𝐧𝐫+(𝐧−𝟏)(𝐧−𝟐)𝟐×𝟏𝐫𝟐r可视为n年的年平均增长率第二部分：平均增长率r与总增长率R的关系设基期量为A，增长n年后的最终量为B，n年的平均增长率为r，n年的总增长率为R，则：B=A（1+r）n同时B=A（1+R）故：(1+R)=（1+r）n由第一部分的结论得：（前提条件：𝐫10%）(𝟏+𝐑)≈𝟏+𝐧𝐫+(𝐧−𝟏)(𝐧−𝟐)𝟐×𝟏𝐫𝟐𝐑≈𝐧𝐫+(𝐧−𝟏)(𝐧−𝟐)𝟐𝐫𝟐7比重型系列问题设基数A、B均表示现期量，a、b表示对应的增长率。比重类问题基期比重类题型1：定量求基期比重的值：AB×1+b1+a题型2：定性判断现期比重与基期比重的大小关系：比重增量类题型1：定量求比重增量（现期比重−基期比重）：AB×a−b1+a题型2：定性判断比重增量的正负情况：比重变化率类题型1：定量求比重变化率增量（现期比重−基期比重基期比重×100%）：a−b1+b题型2：定性判断比重变化率的取值范围：a−b1+b在a、b之间靠a、b的大小关系来判断靠a、b的大小关系来判断