三垂线定理教学设计

《三垂线定理》教学设计许平一、教学目标：1．认知目标：（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。2．能力目标：通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.3．情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。二、重点、难点：(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。三、对象分析：对高中学生来说，空间观念正在形成，因此本节课的重点是要学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理及其逆定理的实质，正确认识“空间三线”的垂直关系；同时掌握用“线面垂直法”研究空间直线垂直关系的思想方法。本节教学的难点是准确把握“空间三线”垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理及其逆定理证题的一般步骤。领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。四、教材分析：“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义五、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。根据立体几何教学的特点，本节课主要是教给学生“动手做、动脑想、大胆猜、严格证、多训练、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有新“获”，学生也才会逐步感受到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要六、教法分析建立模型，启发引导，猜想论证，学习应用，发展能力七、教学过程设计与分析：环节教学内容教师活动学生活动设计意图回顾旧知创设情景分析解决问题问题1直线与平面垂直的定义教师提问式实施（教师补充说明：定义既是判定又是性质，并板书）如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直思维从问题开始,点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续问题2直线与平面垂直的判定定理？(学生回答后教师复述并板书)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面问题3PO是平面α的斜线，O为斜足；PA是平面α的垂线，A为垂足；AO是PO在平面α内的射影.(1)如果aα，a与PO的位置关系如何？为什么？(2)如果aα，a与PO能垂直吗？谁能将以上问题写成一个命题？你能证明吗？(教师板书)好！根据刚才同学们的回答可知这是一个真命题，这就是我们这节课要学的一个重要定理，从而引入。a⊥PO，根据线面垂直的定义.能，当a⊥AO时在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.让学生养成严格论证问题的习惯和正确的书写格式，培养学生思维的严谨性。新课讲授1.三垂线定理与逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直问：平面的一条斜线在平面内是否一定有垂线？如果有，有几条？怎么确定？一个命题的证明需要写已知求证，谁能写？这个定理的逆命题怎样叙述？(板书课题——三垂线定理)教师用多媒体显示定理内容用课件演示定理中的主要元素并强调，(1)当定理中“在平面内的一条直线”的平面内3字闪烁时，下面图形中的平面同时闪烁5下；教师要特别强调“在平面内”，并用实物演示直线不在平面内是错误的.(2)当定理中“如果和这个平面的一条斜线的射影垂直”的射影两字闪烁时，下面图形中的射影AO所表示的图形也跟着闪烁5下；(3)当定理中“那么它也和这条斜线垂直”中的斜线两字闪烁时，下面图形中的斜线也同时闪烁5下；(4)演示平行移动直线a的不同位置将此写在刚才设计好的证明文字上面，并说明下面就是三垂线定理的证明说明：三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线.学生回答：有，有无数条已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO，求证：a⊥POAOP这个逆命题是真命题吗？你能证明吗？2定理涉及到的几何元素1个平面α4条直线(1)平面的垂线PA；(2)平面的斜线PO；(3)斜线在平面内的射影AO；(4)平面内的一条直线a.3个垂直(1)垂线PA与平面α垂直；(2)平面内的一条直线a与斜线在平面内的射影AO垂直；(3)平面的一条直线a与斜线PO垂直用多媒体显示逆定理，并用课件演示逆定理的主要元素(步骤类似前面定理)学生边回答教师边将上面3处黑体字部分改动一下，以说明与定理的联系与区别.用多媒体演示在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.从分析原定理证法的角度引出逆定理，有利于学生加深对两个定理一致性的认识，能充分认识到两个定理的实质是线面垂直。文字显示时，图中平面α从左向右渐露文字显示时，图中每条直线相应从上至下渐露文字显示时，图中每对直线依次同时闪烁3次知识应用知识应用3．例题分析例1如图2，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.分析：要证明线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理，其关键是确定垂面，由于位置的对称性，不妨以面BCD为垂面(确定垂面)从上例我们可以知道，运用三垂线定理解题可归纳为以下3步：一定(定垂面)二找(找4线)三证(证垂直)也可用口诀记忆如下确定垂面抓住斜线作出垂线联成射影找第4线证明垂直多媒体演示文字“确定垂面”，同时将面BCD闪烁3下.ABCDO例2在正方体AC1中，求证：(1)B1D⊥BC1；(2)B1D⊥截面A1C1B例3如图，已知平面α、β，α∩β=AB，PQ⊥α于Q、PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.帮助学生理清题意作出图形，让学生自己完成思考后请一名同学解答确定垂面BC1抓住斜线B1D作出垂线DC以上两同学的方法都对，但生2回答的方法简捷，这说明三垂线定理证明的问题都可用线面垂直来证，因为三垂线定理就是利用线面垂直来证明的，这也是我们为什么要学习三垂线定理的道理——因为简捷.生1：由线面垂直可得.生2：PO在平面α上的射影是QR，由三垂线定理的逆定理可得.生1：由线面垂直可得.生2：PO在平面α上的射影是QR，由三垂线定理的逆定理可得.通过一道简单例题的推证，总结出使用定理的方法，为使学生形成解题技能打好基础。3.小结(1)三垂线定理及逆定理(2)说明：①定理中4条线均针对同一平面而言；②应用定理关键是确定“垂面”这个参照系；③操作程序分3步——一定二找三证(3)记忆口诀确定垂面抓住斜线作出垂线联成射影找第4线证明垂直(4)三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理.4.作业(略)思考题：在正方体1111DCBAABCD的各顶点连线中，与1BD垂直的有哪些?使学生能巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有力的学生留出自由发展的空间板书设计：三垂线定理三垂线定理及逆定理例1例2例3说明：1.本堂课尝试运用“问题解决”的教学模式，力图通过发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与，始终处于积极地操作和思考的动态活动之中，形成以学生为中心的探索性学习活动。2.本节课力求体现出以教师为主导、学生为主体的教育思想。引导学生利用数学知识去分析问题和解决问题，开拓学生的思维，培养学生的创新精神和实践能力。