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第五讲线性方程组一、本章引言线性方程组对大家来讲应该不会太陌生,早在中学阶段,我们就学习过二元一次方程组和三元一次方程组,并且学习过求解这种方程组的方法.现在,我们就是要研究更一般的n元一次线性方程组:线性方程组在自然科学、工程技术和企业管理中的经常出现。研究线性方程组,就是要解决如下几个问题:存在问题：方程组是否有解个数问题：唯一解或有无穷多解解法问题:高斯消元法求出一般解结构问题：解的全体结构如何*解的结构问题的研究,需要用到进一步的知识,因此我们不讨论这个问题。二、内容回顾（一）齐次线性方程组1．齐次线性方程组的不同的表示形式:（1）普通形式式:（2）矩阵形式:令则可把齐次线性方程组简写成A称为方程组的系数矩阵。（3）向量形式:显然是齐次线性方程组的解,称为零解。2．齐次线性方程组的基本问题:存在问题:齐次方程组一定有（零）解!问题是何时有非零解?个数问题:唯一解或有无穷多解解法问题:高斯消元法求出一般解3．齐次线性方程组有非零解的条件（1）当（即,方程的个数少于未知数的个数）时,齐次线性方程组必有非零解,这只是一个充分条件,不是必要条件。（2）当时,则方程组有非零解系数矩阵不可逆。（3）齐次线性方程组有非零解（4）齐次线性方程组只有零解A可逆r（A）=n。4．齐次线性方程组的解的性质若AX=0有非零解,这些非零解具有哪些性质呢?（1）若都是齐次线性方程组AX=0的解,那么也是AX=0的解。（2）若是齐次线性方程组AX=0的解,则对任意实数k,有k也是AX=0的解。（3）由此可知,AX=0解向量的任意线性组合仍是解。5．齐次线性方程组的求解要求解齐次线性方程组AX=0,只需要通过初等行变换把系数矩阵化为简化的阶梯形矩阵,然后直接写出全部解,或者一般解。下面通过一个例子来加以说明。例1求下列方程组的一般解:解对系数矩阵进行初等行变换,化为简化阶梯形:这相当于把原方程组化为如下的同解方程组:可设x4为自由未知量,则原方程组的一般解为.（二）非齐次线性方程组1.非齐次线性方程组的不同的表示形式:（1）普通形式:（2）矩阵形式:其中是系数矩阵,（3）向量形式:记作则上述方程组可改写成2.非齐次线性方程组的四个基本问题:存在问题：何时方程组有解?个数问题：无解、唯一解、无穷多解解法问题：高斯消元法求出一般解3．非齐次线性方程组有解的条件AX=b有唯一解r（A）=r（A,b）=n.AX=b有无穷多解r（A）=r（A,b）n.AX=b无解以上结论主要依据是如下:求解方程组的过程,实际上就是对线性方程组的增广矩阵=（A,b）=进行初等行变换,将其化成如下形式的阶梯形矩阵：其中,=1,2,…,r）,或形式更一般的阶梯形矩阵:这个阶梯形矩阵所表示的方程组与原方程组是同解方程组,而阶梯形矩阵所对应的方程组为是否有解很容易判断。下面给出简单分析:1.当时,阶梯形矩阵所表示的方程组中的第r+1个方程“0=dr+1”是一个矛盾方程,因此,方程组无解。2.当dr+1=0时,方程组有解.并且解有两种情况：（1）如果r=n,则阶梯形矩阵表示的方程组为用回代的方法,自下而上依次求出,,…,的值.因此,原方程组有唯一解.（2）如果rn,则阶梯形矩阵所表示的方程组为将后n-r个未知量项移至等号的右端,得其中,…,为自由未知量。由于自由未知量,…,可以任意取值,因此,方程组有无穷多解。上述表达式就称为原方程组的一般解。4.非齐次线性方程组求解方法:用消元法解线性方程组AX=b的步骤如下（1）写出方程组的增广矩阵（A,b）,并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵。这一过程称为消元过程。（2）判断方程组是否有解。也就是说,如果那么停止计算,方程组AX=b无解；如果r（A）=r（A,b）,方程组AX=b有解。（3）在有解的情况下,把增广矩阵化为简化阶梯形。（4）写出简化阶梯形所对应当方程组。（5）确定自由未知量,并写出一般解。例2求下列方程组的一般解:解利用初等行变换把增广矩阵化为简化阶梯形。由于,方程组有解。简化阶梯形矩阵所对应的同解方程组为:取为自由未知量,可得到一般解:5.简化阶梯形矩阵:满足下列三条的矩阵（1）阶梯形矩阵（2）每个非零行的第一个非零元都是1；（3）每个非零行的第一个非零元所在列的其余元素都是0。简化阶梯形矩阵例子：,。齐次线性方程组AX=O称为非齐次线性方程组AX=B的导出组。这两个方程组有很密切都关系。最重要的联系如下:（1）如果X1,X2是AX=B的两个解,那么X1-X2是AX=O的一个解。（2）如果AX=B的解不唯一,那么AX=O有非零解。三、重点导学1．齐次线性方程组是否有非零解的判定2．非齐次线性方程组有解判定3．初等行变换求线性方程组的解（高斯消元法）4．讨论含参数的线性方程组有解的情况四、典型例题例1.设A是矩阵且mn,对方程组AX=b,以下哪个成立？（A）AX=O没有非零解；（B）AX=O必有非零解；（C）AX=b必有唯一解；（D）AX=b必有无穷解；（E）AX=b必无解。例2设A是矩阵,AX=0是非齐次线性方程组AX=b的导出组,则下列结论中成立的是（）:（A）若AX=0仅有零解,则AX=b有唯一解；（B）若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解；（C）若AX=b有无穷多解,则AX=0有非零解；（D）若AX=b有无穷多解,则AX=0仅有零解。例3解线性方程组解利用初等行变换,将方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵:=由此可以看出,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,因此,原方程组无解。例4解线性方程组解利用初等行变换,将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵,再求解。即故方程组的一般解为,其中是自由未知量。例5解线性方程组解利用初等行变换,将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵,再求解。即=故方程组的唯一解为:．例6问a,b取何值时,下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解设法把方程组的增广矩阵变为阶梯形:,由此可知,（1）当a=5而b-3时,r（A）=2,r（）=3,故方程组无解；（2）当a5时,r（A）=r（）=3,故方程组有唯一解；（3）当a=5而b=-3时,r（A）=r（）=2,故方程组有无穷多解。关于线性方程组,我们对理论要求并不高。希望大家能学会求解线性方程组,学会讨论含参数的线性方程组可解情况,对齐次和非齐次线性方程组解的性质有一定了解,并且搞清楚一个非齐次线性方程组AX=b和它的导出组AX=0之间的关系。