《连续体力学》习题及解答4-1

177因此2221221212321323222322233222211232322222121)()()()()(nnnnnnnnnnnn2n(a)图4-1(2)xnxn。以点方向上剪应力平方为处2)(为坐标原点(球心)，取单位球面，采用球坐标(图4-1)，则n的分量分别为cossinsincossin321nnn，(b)2)()20(0sindddnn。于是，方向的球面面元为a在各个方向上的平均值可表示为amadsind1d1)(02)(202)(2)(nnn将式(a)、(b)代入上式，为单位球面面积，经运算后，可得])()()[(151)(2132322212mn注意到13322123211)()(TTII，则易于证明)](3)([152)(2212)(TTnIIm4-9设*)(nnpn在方向上上取驻值，证明*)(*)()(**npnpnn并用Cauchy应力)()321(nnpT表示，，的主应力ii的驻178值。又在T的主方向坐标系内，证明下式成立))(())(())(())(())(())((323123221212322213131221232nnn方向的正应力和剪应力分别是一点处和式中n。解(1)求1)(nnnpn极值问题，约束条件是的驻值问题是一个条件记)1()1()()(nnnTnnnnpnn为Lagrange乘子。求的极值等价于onTnn**22即*n应满足)(***npnTn(a)式(a)表明，TTnpn即为的主方向上取驻值，且在)(的主值。由式(a)可求出)(nnp的驻值为****)(**nnnTnpnn(b)上式表明，)()()(nnnnpTnp有三个驻值，亦即的主应力，因此的驻值等于有三个驻值，分别等T的三个主应力。这反过来又说明了Cauchy应力的主应力是法向应力)()(nnnp的驻值。由式(a)和(b)又可看出*)(**)()(**npnnpnn(2)在jiijeeTTi的主方向坐标系内，，于是)()()(nninnpeTnpiin记为，为)()(nn，则有23322221122323222221212nnnnnn又(c)再结合1232221nnn，则可由式(c)解出1790))(())((0))(())((0))(())((231321223123213222312132221nnn证毕。根据以上三式，可在)(，平面上作出三个圆，即应力圆。4-10设')'()(nnppnn和处分别是变形体内某点和P方向的应力矢，证明')(npn在方向的分量等于npn在)'(方向的分量。解已知P为，，TTnpTnpnn')'()(点处的Cauchy应力张量。于是')'('')(')'()(nTnnTnnpTnnnTnnpnn由于npnpTnn)'()('是对称张量，于是有。证毕。4-11设变形体内任一点处的Cauchy应力张量T的分量矩阵为32123232232122322213212222221][xxxxxxxxxxxxxxxT试求切于圆柱面042322xx且过点)312(，，P的截面上的应力矢、T的主应力和主方向。解将][312321T点处的到代入应力分量矩阵，得，，Pxxx为163642321][T在P点，圆柱面的梯度为32332232222gradeeeePPxx180因此过P点切于圆柱面的截面方向322321een。于是过该点切于圆柱面的截面上的应力矢为32133323231321210163642321)(nTpnP主应力由解下列特征方程求得033213III式中0406321III，，，代入上式可解出4010321，，分别将主应力)321(，，ii代入下式}{}]{[)()(iiinnT并与1)()(iinn联立求解，可分别求出对应于主应力i的主方向321)(，，，iin，如下)32(141)2(51)563(701321)3(21)2(321)1(eeeneeneeen易证)3()2()1(nnn、、相互正交。4-12设x点处Cauchy应力张量kkkT为标量，，其中TT为不变的单位矢。如果T是自我平衡的，证明(1)kxT独立于(2)nx点处方向的剪应力的平方为])(1[)(2222)(nknknT181(3)2max2)(41)(Tn解(1)TkkT，因为T自我平衡，故有0,kTkT即kxkkkxxTxT。独立于，所以0。(2)方向的应力矢为处nxkknnTpn)()(T于是2)(22)()()()(knnpknppnnnTT所以])(1[)()()()(22242222)()()(2)(knknknknnpppnnnnTTT(3)因为cosknk令是固定的单位矢，因此，则由上面的结果可得2sin41sincos222222)(TTn式中12sin2，所以2max2)(41)(Tn4-13如果物体vvB，表面为的体积为，且处于平衡状态；证明(1)Cauchy应力张量的平均为vvvmd1)(TT可表示为avvvvvmd)(21d)(21)()()(xppxxbbxTnn式中为质量密度为单位质量的体积力，b。(2)若在ITnpobnTTTvvm)()(为常数，则，上，及在内。182(3)若在kknkpobn和，上，在内TTvv)()(均为不变的，则kkTTm)(解平衡方程为0,ijijb上式遍乘，得到kx0,kikjijxbx上式可写成0)(,,kijkijjkijxbxx其中vxkjjk。在,内积分上式，并应用Green公式，得到axvxbanxvxbvkivkivvjkijkivvikd)(dddd)(np式中i)()(np是应力矢在ix的方向的分量。将上式的指标ki，对换，并注意到kiik，于是可得axxvbxxbvkikivkikivmikd])()([21d)(21)()()(nnpp或者写成]d)(d)([21)()()(avvvvmnnpxxpbxxbT(a)证毕。(2)在npobvnTv)(上，在内时，式(a)简化为(为常数T)vTaTaTvvvmIxxnxxnT2d)(d)()(2所以ITTm)((b)(3)在时上，在内knkpobn)()(Tvv式(a)简化为(为常矢量k，T为常数及Ix)183kkkkkknkkxkxkkxxknkTTvvTaTaTvvvvm2d)(d)(d))(()(2即kkTTm)(证毕。4-14偶应力理论认为，在任一物质面元naadd上，不仅作用有应力矢nTpn)(，而且有偶应力矢，nmn)(是二阶偶应力张量。设单位质量的体力和体力偶分别为和f；物体处于平衡状态)(oa。证明，线动量守恒方程的局部形式为ofTdiv(a)角动量守恒方程的局部形式为oTTdiv∶(b)解在线动量守恒方程中，不涉及偶应力等，因此与没有偶应力存在的情况相同，所以在相关的Euler型运动方程中令)(oa便得到式(a)。角动量守恒可表示为(对坐标原点取角动量)ampxfxvxnnd)(d)(dDD)()(avvvvt(c)其中ovvxvxd)(d)(DDvvvt因为oaovv，；vvxxevxeanxaavljijkijjkvkijljijkvkilljijkkilavad)div(d)(d)(dd)(d)(,,,)(TxTeeeeTnxpxn∶184vaaTvaaddivdd)(nmn将上列结果代回式(a)，得到oTvTvd)div(∶其局部形式即式(b)。4-15设杆件在参考构形内长为PAL；在外力，截面积为作用下伸长变形，变形后长为al，截面积为。物质和空间坐标系重合，试求名义应力TS及Kirchhoff应力沿杆长的分量。解在现时构形中，Cauchy应力分量为aP11，其余为零；此处是采用笛卡尔坐标系，111轴沿杆的轴线。x是变形后杆中轴向单位面积上的内力，是实际存在的应力，有时称为真应力。已知lLFLAlaJJST1111，，TF。于是APaPlLLAlaJFS1111111上列应力常称为名义应力。又按TJ11TFF，有AlPLlLSFJFT11111111111111已经没有原来应力(内力集度)的意义，故有时称为伪应力。根据以上分析结果，人们有时将和、ST分别称为真应力张量、名义应力张量及伪应力张量。4-16试根据fTaFSTdiv1，由J直接导出0)(0,kkLLkafS(a)解首先由0)(,11jjMKmmKFJJfFJ证明1850)()()()()(111111112,1jjMllMjjNNlMNljjMMlNNljjMjMjlNNljjMjMjlNlNjjMxFxFJxFXFFJxFXFFJxFFxFFJxFJFxFFJJFJ(b)其次NNkNkllNlNklNlNklNllkSJSFJSFJSFJ,1,1,1,1,)()(其中用到了式(b)及NNklNkNllNklNSxSXxSF,,。将上列结果代入0)(,kkllkaf注意到0J，就得到式(a)。4-17试从现时构形上的运动方程oFvbT)Div(div1JT及，导出xb000DivT解已知011)(JJJTTT用，TTTFTF遍乘现时构形上的运动方程，得到000vbT0J(a)式中)(])([)(00tbttt，，，XXxbxbb，类似地])([0tt，，Xxvv=)(0t，Xv；以及111}{}{}{FFXFxXXx□□TTTTT于是式(a)可写成18600001))((vbJTF□(b)又))(()())(()()(11111TFTFTFTFTF□□□□□JJJJJT已知TJJJTFoFF111)Div()(，□，所以式(b)可写成)(Div0000tvbT，，Xxx证毕。提示：在以上的运算中，表示□□)(1F作为一个矢量先同1F进行运算，不是对)(11FF□求导。□或后面的量加括号时，表示将算子)(1F□□或作用于括号中的场量，即对该场量求导。例如：))(()())((111111TFeeTFeeeF□□□□TijiLTjLiLjiLjjjjLL