《连续体力学》习题及解答4

1634守恒定律应力场方程(一)概念、理论和公式提要4-1质量守恒定律物体)()(BMBMB，所包含的质量记作只与物体有关，与物体的变形运动无关。假定质量在物体内是连续分布的，不存在集中质量；当物体的体积趋于零时，0)(BM。物体的质量)(BM是与观察者无关的客观的量。从以上关于)(BM的特性，应有0)(ddBMt(4-1-1)这是质量守恒质量的总体形式。又有vMtv△△，△0lim)(x(4-1-2))(d)()(tKvtBM，x(4-1-3))()(BMtKB则于内的质量密度或密度。在构形是物体与构形无关，即)(00d)(d)(tKKVtvt，，Xx(4-1-4)VKVKdd0000和内体元的体积。显然是内的密度，是物质在都独立于时间。式(4-1-4)对任意大小的构形都成立，于是可以引出00ddJVv或，(4-1-5)上式是质量守恒定律的局部形式，称为Lagrange连续性方程。对式(4-1-5)求物质导数，可得0divv(4-1-6)上式是质量守恒定律的动力局部形式，称为Euler连续性方程。4-2体积分的时间导数输运定理164(1)设为单位质量所具有(或携带)的力学(热学)量，)(tK为内的质量密度，则)(dtRv是区域))((RtR以下简记为内所包含的总力学量。时间变化，R及、都变化。此处所谓体积分的时间导数是R内所包含的总力学量的时间变率。这个变率有两种不同的情况。如果区域的边界R是物质边界，即位在R上的质点始终不变，从而R内的总质量不变，称这类体积分的时间导数为体积分的物质时间导数，简称为体积分的物质导数，记作RRvvt)d(dDD或，边界的运动速度等于边界上质点的速度。如果区域RR的边界是空间边界，位在边界上的质点不总在边界上，从而R内的总质量不固定或不守恒；边界的运动速度g正交于边界，ngg，它不等于边界上质点的速度v。称此类体积分的时间导数为体积分的空间时间导数，简称为体积分的空间导数，记作Rvtddd。两种时间导数有如下的关系RRRsvtvtd])([dDDdddnvg(4-2-1)式中横线表示先将nvg与中的)(][点乘。(2)输运定理体积分的物质导数对应于物体或其任何部分所占区域R内包含的质量不变，即有Vvdd0。于是可证RRvvtddDD(4-2-2)上式称为输运定理；其适用条件为：R内的质量守恒，R在及内连续，以及被积函数具有形式。4-3应力张量(1)应力矢Cauchy应力张量变形体内任一点处方向n上的应力矢为ssv△△△△ppn00)(lim(4-3-1)此处认为变形体内任一物质面元上所传递的内力可合成一合力，这一看法或假165定设称为Euler-Cauchy应力原理，它适用于非极性物质。按此原理定义的应力称为Cauchy应力。假定在给定点处任一方向npnpnnn是的函数，并可证明只是上的应力矢)()(的线性矢量值张量函数，从而有nTpn)((4-3-2)nxTT是与)(无关的Euler型二阶张量，称为Cauchy应力张量，其分量式为jiijTeeT或者按一般习惯，记ijijT为。Cauchy应力是实际存在于tK内的应力，一般地它是t，x的函数。将后可以证明，对于非极性物质，T是对称张量。(2)Pila-Kirchhoff应力张量Cauchy应力是实际存在于tK内的应力。有时，我们要在0K内讨论问题，为此要导出0K内与Cauchy应力等价的应力。记此等价应力张量为，等价的条件是0K内面元Ad的内力Add)(NApn等于内该tK面元上的内力aadd)(Tnpn，根据式(3-2-30)AFadd1TJ，可以导出1TJFT是不对称的两点张量，称为第一Piola-Kirchhoff应力张量或Piola应力张量。有些作者将S称为名义应力，记作TTFS1JT(4-3-4)为了得到0K内对称的应力张量，取111TJFTFF(4-3-5)是对称的Lagrange型张量，称为第二Pila-Kirchhoff应力张量或Pila-Kirchhoff应力张量。记TTJˆ(4-3-6)Tˆ称为Kirchhoff应力张量。由于是对称张量，所以应满足11TTFF(4-3-7)TSTˆ及、、、是文献中常用到的，用以量度应力状态的应力张量。4-4动量守恒定律(1)线动量守恒定律常称为动量守恒定律，它可陈述为：系统的总动量的166时间变率(物质导数)等于施加于系统的力系的合力RRRsvvtdddDDTnfv(4-4-1)式中Rs为是单位质量的体力，nsfdd的面元。应用输运定理及Green公式RRsvddn(4-4-2)可得下列动量守恒定律的总体形式RRRvvvdddTfa(4-4-3)其局部形式为(即运动方程)afT(4-4-4)式中oava是质点的加速度。当时，上式变为Euler型平衡方程。在0K内动量守恒定律可表示为0000d)(ddd00000RRRRVSVV□fNfx(4-4-5)式中，□，，，，)(])([00tttXfXxffavx为Lagrange型矢性算子。上式的局部形式为xf00□(4-4-6)或者xfF00)(□(4-4-7)式中HIF。上式的分量式为LLNMNMLLMafu000,,])[((4-4-8)式(4-4-7)或(4-4-8)是0K上的运动方程，所有的量都采用Lagrange描述。(2)角动量守恒定律角动量又称为动量矩，它是相对于给定的参考点的。为简单计，取坐标原点为参考点。于是角动量守恒定律表示为RRRsvvtd)(d)(d)(DDTnxfxvx(4-4-9)应用动量守恒方程，经运算后，上式简化为oTvRd∶167其局部形式为oT∶上式要求jijiijT，或TT(4-4-10)即Cauchy应力张量是对称张量。下列制约连续介质变形运动的方程称为场方程Euler场方程(以t、x为变量)vfTTTvdiv0divT(4-4-11)Lagrange场方程(以t、X为变量)vfF0000)Div(TJ(4-4-12)4-5能量守恒定律(1)能量守恒方程的总体形式为)(eLKU(4-5-1)式中RReRRRRsvLvvtKvuvutUd)(ddd21DDddDD)(vnTfvavvv(4-5-2)KU和分别是系统的总内能和总动能的物质导数，)(eL是施加于系统的外功率；u是单位质量的内能。此处假定系统与外界没有热、电等非机械能的交换。由式(4-5-2)的第三式可以导出RRevvLdd)(DTav∶(4-5-3)168或者记作)(eLWK(4-5-4)上式称为机械能守恒定律，其中RvWdDT∶(4-5-5)是系统的总应变能率或应力功率，T是Cauchy应力张量，D是伸长率张量。由式(4-5-1)和(4-5-4)可得RRvvuWUddDT∶或(4-5-6)上式的局部形式为DT∶u(4-5-7)上式表明，当系统与外界没有非机械能的交换时，内能的变率等于应变能率。(2)功共轭应力上面提到的DT∶是现时或瞬时构形内单位体积的应力功率。记w为单位质量的应力功率，则有GTDT∶∶w应用111FFGFEFD及T，由上式可以导出FEDTDT∶∶∶∶ˆ0Jw(4-5-8)上式是FE为的功共轭应力，为；称内单位体积的应变能率0K的功共轭应力。由于D不是任何应变的时间变率，所以TTˆ或不是任何应变的功共轭应力。将式(4-5-8)推广ffwETFEDT∶∶∶∶ˆ0(4-5-9)式中fT为应变fE的功共轭应力已知UuFE，它与)(f同轴，其主方向为Lagrange主轴)(iu。记)()(jifijfuuTT(4-5-10)即ffET不必与同轴。已知(式3-8-23、3-8-27)ijjiijijfjifijDEDE，于是由式(4-5-9)可得ijfijfjiijijjiijijDTDDTˆ(4-5-11)上式对任意的D都成立，于是得到169ijfjijifjiijfijTTˆ(4-5-12)式中ijijT和ˆ分别是和Tˆ相对于Euler主轴)()(iv和Lagrange主轴)()(iu的分量。例如Biot应变)1(E的功共轭应力)1(T相对于Lagrange主轴)()(iu的分量可如下计算：此时1)('1)(xfxxf，，于是)(2jijifij代入式(4-5-12)，得到ijjiijjijiijTT2ˆ2)1((4-5-13)4-6虚功率原理由式(4-5-2)的第三式，应用Green公式，可以导出RRRsvvd)(d)(dnTvvafDT∶(4-6-1)如果系统处于平衡状态，oa，上式变为变形体的虚功率原理RRRsvvd)(ddTnvvfDT∶(4-6-2)其中vT和彼此独立，但分别满足平衡方程和几何方程vGGGDofT，)(21T当vT和同时满足边界条件)(ˆ)(ˆ)(上在上在vTRRvvpnTn上标“”表示给定量，则式(4-6-2)可写作RRRRssvvvTdˆdˆdd)(TnvvpfvDTn∶(4-6-3)4-7间断面和间断条件170(1)守恒方程的统一形式守恒方程可统一写成RRRsqvbvtdddDDn(9-7-1)式中高一阶的张量；为比为同阶张量，和bqb为单位质量所拥有的力学量，它包括质量、动量、动量矩、动能、内能等等。b为系统内分布的源，q为流经系统边界的流动通量。上式适用于、内R连续可微、质量不变的情况。例如质量守恒定律：01qb，动量守恒定律：Tfvqb，，能量守恒定律：Tvfvvvqbu，，21(2)场量有间断时的输运定理和Green公式设在和有间断，在间断面上、内R各有间断值][，][，””和““分别表示两侧的区域。于是输运定理应改为d)]([ddDDnvgRRvvt(4-7-2)式中R为扣去间断面后的区域，在nnn连续可微，、内R。上式是和内场量R有间断时的输运定理。类似地可得内场量R有间断时的Green公式d][ddnnRRvs(4-7-3)(3)场量有间断时的守恒方程动力连续条件设在qR、、内不连续，则守恒方程的统一形式为RRRsqvbvtdddDDn(4-7-4)应用式(4-7-2)和(4-7-3)，上式可写成d][ddd)]([dnnvgqvqvbvRRR(4-7-5)由于和R彼此独立，上式的局部形式为)(内在Rbq(4-7-6))(0][)]([上在nnvgq(4-7-7)171对于质量守恒定律，01qb，，式(4-7-6)恒满足，式(4-7-7)变为)()()(上在nvgnvg(4-7-8)对于动量守恒定律，Tfvqb，，；代入式(4-7-6)和(4-7-7)，分别得到)(内在RvfT(4-7-9))(][][)(上在onTvnvg(4-7-10)