《连续体力学》习题及解答8

3568粘性物质(一)概念、理论和公式提要粘性是指物质的力学行为与时间相关的属性。这种属性表现在(1)物质的响应与干扰施加的快慢有关，即应变率相关性，(2)物质的响应与干扰的持续时间有关(后效)。8-1粘性流体流体区别于固体的主要特征有二：(1)流体是可流动的物质，只在静水应力(或称为各向同性应力，记作Ip)状态下才能维持平衡；(2)流体可在没干扰的情况下随容器改变自己的形状，只要体积不变，无论形状如何变化，流体的力学状态不变。因此流体的应力状态与BF、、C没有直接关系。但是detdet0，JFC=20)(detB当体积不变时，亦不变；所以可以认为，、FC、B是通过与应力相关，从而对于流体常用代替应变作为基本状态变量。(1)线性粘性流体剪应力与变形率成线性关系的流体称为线性流体，或称为Newton流体。Newton流体是常见流体的最好近似。Newton流体的本构方程可写作)(，ppDBpklijklijij(8-1-1)B称为热状态方程；，为正，是静水压力，以压应力)(ppp是反映流体性质的四阶张量。当流体处于静止状态，oD；于是式(8-1-1)变为)(，，pppijij(8-1-2)这是流体静力学的本构方程。由此可见，流动流体的应力(式8-1-1)可分为两部分，(a)各向同性应力ijp，这是准保守应力，可逆的应力，即ijqijp)(；(b)与变形率ijD相关的应力，称为粘性应力，是总应力中的耗散部分，即357klijkldijDB)(。为明确计，将ijdij记作)(。于是式(8-1-1)可写成DBITTT∶pDBpqklijklijijqijij)()((8-1-3)klijklijijqijDBp，)((8-1-4)式(8-1-3)应满足客观性原理；其中DT和都客观的Euler型张量，于是B必须是各向同性四阶张量，即有jkiljlikklijijklB式中和都是，，的函数。将上式代入式(8-1-3)，得到DIDT2)tr(2)(pDDpijijkkij(8-1-5)、称为粘性系数。上式是各向同性张量函数，所以线性粘性流体必定是各向同性的，毋需引入“流体是各向同性”的假设。将IDDDD)tr(31)0('和球张量分解为偏张量，式(8-1-5)又可写成'2])32([ijijkkijDDp(8-1-6)其中'2)32(ijijkkijDD(8-1-7)式中)32(和分别表征畸变和体胀的粘性效应。由式(8-1-6)可求出运动中流体的平均应力为kkDp)32(tr31T(8-1-8)当032时，得到Navier-Stocks流体的本构方程'2ijijijDp(8-1-9)'2ijijD(8-1-10)当)0('DDoD，时，流体中的应力状态是各向同性的，本构方程变为ijkkijDp])32([(8-1-11)358这时常常假设032，即认为流体中平均应力等于静水压力p，称为Stocks假设。当流体不可压缩时，。这时，'0DDkkD为常数，但存在不确定应力N，将它并入静水压力，得到)(2'ijijijijijDDDp(8-1-12)式中p是不定值，)(。当00，，即流体是非粘性的，式(8-1-5)简化为)(，，pppijij(8-1-13)即非粘性流体中的应力，无论是在运动中或是静止，总是静流体应力。如果非粘性流体又是不可压缩的，则式(8-1-12)简化为ijijp(8-1-14)p为不确定值。(2)非线性粘性流体非线性粘性流体常称为非Newton流体，设将此类流体对应于粘性应力的本构方程写作)(GTT，，(8-1-15)式中和，章第，前已证明GDG)6(不是客观量，但本构方程应是客观的，因此式(8-1-15)应改为)(DTT，，客观性原理要求响应函数满足下式)()(TTQDQTQDQT，，，，(8-1-16)式中Q是任意的正常正交张量，于是上式又是响应函数)(DT，，为各向同性函数的条件。由此可见，如果假定流体的应力只与速度梯度、密度和温度有关，则客观性原理必然导致流体是各向同性的，毋需引入各向同性的假设。已经证明，对称张量函数)(，，DT为各向同性函数的充要条件是2210)(DDIDTT，，(8-1-17)或者2210)(DDIITTTpq(8-1-18)式中DIT都是和、，，是静水压水，210)()(pppq的不变量及，359的函数。对于不可压缩流体，DDDD。记，'0tr的不变量为3)3(2)2()1(trtrtrDDDDDD，，(8-1-19)则TI成为非确定应力，而，pD0)1(的球张量(或称T的各向同性应力)为IIT)31()tr(31)2(20D(8-1-20)这部分应力在可实现变形运动上的功率为零(因流体不可压缩)，因此可以作为准保守应力并入Ip之中成为非确定应力的一部分。于是剩下的粘性应力成为偏张量，为此不失一般性，可令)2(20)2(2031031DD，这相当于在应力中已扣去了平均应力；于是代入式(8-1-17)和(8-1-18)，分别得到T的偏张量T及T为)31()2(221'IDDTD(8-1-21))31()2(221IDDITDp(8-1-22)式(8-1-22)是将T分解为球张量和偏张量之和。对应于上列本构方程的流体称为Reiner-Rivlin流体；式中)3()2(21DD和是和的函数。将21和视作小量，可将D展开成级数)(22)2()4()3()3()2()2()0(1DgDgDgg(8-1-23))(42)2()4()3()3()2()2()0(2DhDhDhh(8-1-24)系数ijnnDnhg表示该项中中的和)()(的幂次。按所需精度将级数截断，就可得到式(8-1-21)不同次数的近似式。例)(2)0(线性近似DTg(8-1-25))()31(42)2(2)0()0(二次近似IDDTDhg(8-2-26))()(4)(2)2(2)0()2()2()0(三次近似IDDTDhDgg(8-2-27)式(8-1-25)是粘度)0(2g的不可压缩Newton流体的本构方程。如果将不可压缩Newton流体的本构方程DDT改为中的2的不变量的函数，于是得到如下的本构方程360DT)(2)3()2(DD，(8-1-28)这便是准线性粘性流体的本构方程。显然，在式(8-1-21)中令02，也得到式(8-1-28)。对于流体，比内能。当，)(uu不变时(等容)，有)(C)(vuu，(8-1-29))(C)(，uv为等容比热。于是热力学第一定律可写成hdivC)(ijijvDu(8-1-30)8-2粘性流体的耗散函数此处假定内禀耗散和热耗散不耦合，且记为内禀耗散，则粘性流体的热力学第二定律可归结为0ijijD(8-2-1)(1)Newton流体02)2(2)1(DD(8-2-2)考虑到''')2(2)1(')2()2(31ijijDDDDDD(8-2-3)于是又可写成0)32(22)1(')2(DD(8-2-4)上式对任意的D都成立，因此要求03202，(8-2-5)不可压缩Neuton流体)('DD022)2(')2(DD(8-2-6)Navier-Stocks流体，032。02')2(D(8-2-7)361(2)非Newton流体0)3(2)2(1)1(0DDDDijij(8-2-8)上式表明，D任意的不能是任意的，它们对、、210必须满足上列不等式。不可压缩非Newton流体0)1('D，DD0)3(2)2(1DD(8-2-9)函数D对任意的和21应满足上式。(3)热耗散热力学第二定律的分离形式要求)(ghhg0hg，，，(8-2-10)对于实用的目的，设)(ghh(8-2-11)是足够的；而对于导热能力有限的物质，有hgohg和。当必然0为线性关系时，设，KghjiijjijighKKK，(8-2-12)于是式(8-2-10)变为01gKg(8-2-13)当0g，上式恒大于零。所以要满足热力学第二定律(式8-2-10)，K必须是对称正定张量。对于各向同性物质，式(8-2-12)和(8-2-13)分别简化为kkgh(8-2-14)01iihhk(8-2-15)式中k为物质的导热率，它可以是状态变量的函数，但一般假定为常数。式(8-2-14)称为Fourier定律，为了满足不等式(8-2-15)，要求0k8-3粘弹性物质在恒应力0作用下应变随时间而增长的现象称为蠕变；在恒应变0作用下362应力随时间而减小的现象称为松驰。与弹性物质相比较，弹性物质的弹性模量E和弹性柔量EF1都是常数，粘弹性物质的松驰模量)()(tFtE和蠕变柔量是时间的函数。一般地说)(tE是时间的递减函数，)(tF是时间的递增函数。设对试样施加干扰)()()()(tFttHt，记；另方面，设对试样施加干扰)()(tHt，响应记为)()(tEt；此处)(tH为阶跃函数。在恒应力0作用下，应变随时间的变化曲线称为蠕变曲线，如果蠕变曲线在任意时刻的应变值与)(t施加的恒应力0成正比，则称该物质是线性粘弹性的。在常温下当应力水平不太高时，物质的行为可以用线性粘弹性模型来模拟。但当应力水平高时，则需采用非线性粘弹性模型。8-4线性粘弹性本构方程的微分算子表述(1)比拟模型由机械元件组合成的系统称为比拟模型，它代表一个材料单元体：弹性元件(弹簧)，本构方程为eeE；粘性元件(粘壶)，本构方程为，为粘性常数；角标””和““e分别表示弹性和粘性，另外还有塑性元件(见下章)。施加于模型上的力为应力，模型的变形则表示应变。图8-1①Maxwell模型(图8-1a)Maxwell模型由一个弹性元件和一个粘性元件串联而成，其本构方程为E(8-4-1)设)()(tHt，上式的解为363)()1()()(tHtEtFt(8-4-2)上式表明，Maxwell模型的蠕变(柔量)曲线为一直线(图8-1，b)；当t大，)(t，所以Maxwell模型不能用来模拟粘弹性固体。设，式)()(tHt(8-4-2)的解为(初始条件E)0())()Eexp(-)(tHtEt(8-4-3)其图形(即Maxwell模型的松驰曲线)如图(8-1,c)所示。图8-2②Kelvin模型(图8-2,a)Kelvin模型又称为Voigt模型，它由一个弹性元件和一个粘性元件并联而成，其本构方程为E(8-4-4)设)()(tHt，可得蠕变曲线(初始条件0)0())()](exp1[1)(tHtEEt(8-4-5)设)()(tHt，由式(8-4-4)可得解)()()(ttEHt(8-4-6))(t为Dirac函数。0)()()(0tttt；另一方面，时，，当0t，所以)0()(时tEt。这表明Kelvin模型的松驰函数无界，它不能用来模拟应力松驰。364图8-3③四元模型(图8-2