《连续体力学》习题及解答9

3909塑性物质（一）概念、理论和公式提要9-1经典塑性理论本章只介绍经典塑性理论和粘塑性本构方程，且都限于小变形情况。塑性变形是不可逆变形，塑性本构方程是非线性的，属于物理非线性。经典塑性理论虽有其广泛的应用领域，但在一些情况下，它就显得不足。例如，对于岩土类物质、粒状物质及高强度钢等力学性能的深入研究，经典塑性理论中的正交法则和塑性体积应变为零等经典假设就不适用；而要研究变形局部化问题，需要从大变形本构模型入手，在大变形条件下，往往伴随材料的损伤，因此在研究从变形到破坏的全过程中，必然要考虑大变形塑性-损伤本构方程等。经典塑性理论有两个基本假设或基本前提：①在应力(或应变)空间内，存在屈服曲面。在小变形条件下，屈服曲面可表示为qij及，(内变量)的函数，即表示成qqgijij，，；也可表示成，，0)(的函数，即0)(qfij，，。在屈服曲面之内，)0(0fg或，状态变化，塑性变形不变化；屈服曲面之上)0(0fg或，塑性变形处于可变化的状态，称为弹塑性状态。②加载过程和卸载过程服从不同的本构关系，加载过程是指塑性变形继续发展的过程，而塑性变形不变化的过程称为卸载过程。这两个基本假设在轴向拉伸试验中是可以观测到的。图9-1示一拉伸曲线，包括从任一点B卸载沿直线到达反向(压缩)屈服点,B处，此后又呈现曲线变化。从试验中可观测到下列结果。EBBAAepe，∥''图9-1391以上关系仅在变形不大时近似成立。在''BBAA和范围内，应力变化与应变化之间遵循ddEE或△△分别称''BBAA、和、点为初始和相继弹性范围的边界，边界点)()(''BBAA、和、对应于弹塑性状态。当应力从B点向内变化时(卸载过程)，有ddE当应力从C点沿曲线变化到B点时(加载过程)有)dd(ddpettEE由Eedd及上式，易得ppEdd(9-1-1)EEEtp111(9-1-2)是切线模量，称为塑性模量，tpEE一般地它们都不是常数。0tE是强(硬)化物质，0tE为理想塑性物质，0tE称为弱(软)化物质(图9-2)。0pE要求0tEE。(a)(b)图9-29-2初始屈服函数在一维应力状态下，初始弹性范围的边界)('AA和可表示成(在应力空间，下同)0)(22sf(9-2-1)此处假定物质的拉、压屈服极限相等。相继弹性范围的边界)()(和则不唯一，而与变形历史有关。从图9-3易见，要确定或描述这些边界，例如点B或)(，392必须给定拉伸曲线和，时还是不只是应力的函数，同和两者。因此pp)()(的函数，即相继弹性范围的边界一般化地应写成0)(pf，(9-2-2)在上式中p是内变量，是反应物质的强化特性的。弹性范围边界的数学表达式称为屈服函数。式(9-2-1)和(9-2-2)分别是初始屈服函数和相继屈服函数；初始屈服函数常简称为屈服函数。对于理想塑性物质，s)(，此时初始和相继弹性范围的边界重合，即屈服函数为式(9-2-1)。推广到一般应力状态，初始屈服函数可写作0)()(0)(*cijijijfff或(9-2-3)一般情况下，c，是应力分量的齐次函数)(*ijf为物质的特性常数。相继屈服函数则一般地写成0)(pfpijij，，(9-2-4)通常将温度作为影响物质特性常数的参变量，即)(cc。其中p是表征塑性变形积累的标量，反映物质的各向同性强化，pij是二阶张量，反映物质的各向异性强化。对于金属，一般可假定：①是初始各向同性和指向同性的，后者指拉、压力学性质相同，②塑性或屈服与平均应力无关；因此初始屈服函数只与应力偏张量的不变量相关，且是应力分量的偶函数，即0)()(2'3'2JJffij，(9-2-5)或''3'''2det21TJJijij；(9-2-6)''ij和T分别是应力偏张量及其分量。注意，此处及以下)('2'2TIJ。常用的(初始)屈服条件(函数)有①Mises屈服条件，其函数形式为0)(2'2kJfij(9-2-7)式中(表示主应力i)ssijijkJ31)](6)()()[(61])()()[(6121212231223211332332222211213232221'''2(9-2-8)393②Tresca屈服条件，其数学表述为)(232131设k(9-2-9)或kkk222133221(9-2-10)式中ssk219-3应力空间屈服曲面应力空间内任一点的坐标等于应力分量，它描述或代表一个应力状态，称为应力点；应力点的位矢称为应力状态矢。同一单元体的应力状态变化，其应力点将在应力空间内移动，移动的轨迹称为应力路径。对于各向同性物质，屈服与主应力方向无关，只与主应力的值相关，因此可以采用主应力空间。在主应力空间内，应力状态矢为=332211eeeeii(9-3-1))(ie为主应力空间的基(图9-4)。图9-4图9-5过原点其法线与三个坐标轴等倾的平面称为平面，在平面上的应力点满足0321(9-3-2)而过原点且与平面正交的线(ON)可表示为321(9-3-3)394式(9-3-2)和(9-3-3)分别表示应力偏量和应力球量，后者相当于静水应力，所以ON称为静水应力线。任一应力状态矢可分解为应力偏量矢'和应力球量矢)0(，即有)0('(9-3-4))0('和相互正交(图9-4)。将三根应力轴投影到平面上，记为'3'21'ooo和，(图9-5，a)，对应于''iioe轴的单位矢记为。显然，'ie不能构成基，即'3'2'1eee、、不是线性独立的。从图(9-4)可见，单位矢'iieen和、位在同一个正交于平面的平面上，其相互位置见图9-5(b)；其中)(31321eeen(9-3-5)sincos'iiene(9-3-6)式中32sin31cos，，将这些值及式(9-3-5)代入式(9-3-6)，可以得到)2(61'kjiieeee(9-3-7)式中321，，按，，kji顺循环取值，即)2(61)2(61)2(61213'3132'2321'1eeeeeeeeeeee(9-3-8)以及主应力为平面上的投影在'ii32132'，，，iii(9-3-9)由于初始屈曲面只是应力偏量的函数，所以它是平面上的一条封闭曲线，称为屈服迹线。根据物质的初始各向同性和指向同性，可以推知屈服迹线必对称于应力轴在平面的投影'3'2'1ooo和，及它们的垂直线，这6根线十等分平面(图9-5，a)。由于屈服与静水应力无关，所以在应力空间内屈服曲面是正交于平面的柱面，其与平面的截线就是屈服迹线。Mises屈服条件实际上是3952'212'2''21kJijij(9-3-10)它是平面上以坐标原点为中心，以k2为半径的圆；在应力空间内，这是一个以静水应力线为中心轴、半径为k2的圆柱面。相应地，Tresca屈服曲面是以静水应力线为中心轴正交于平面的正六边棱柱面。如果都用简单拉伸测k，则Tresca六边形内接于Mises圆。9-4相继屈服函数相继屈服函数一般称为加载函数，是物质强化规律的数学表述。相继屈服函数的具体形式是(经典)塑性力学至今仍有待深入研究的问题之一。其一般形式可表示为0)(qfij，(9-4-1)此处q表示内变量，对于塑性物质，内变量可包括ppij和；此处未考虑温度的影响，或者温度作为一个参变量只影响物质的特性常数。强化参数p可采用如下的正值函数：塑性功0DdddddpijijppijijppijijpWpWp，(9-4-2)D为单位体积的塑性功率，即塑性耗散功率，它是塑性物质的耗散函数。0320dd32dddpijpijpepijpijpepeppp塑性应变强度(9-4-3)在)(qij，空间内，式(9-4-1)表示一个固定的曲面。应力状态使0f时，物质处于相继弹性状态，过程是弹性的，即0d0dpijij时，klijkleijijFddd(9-4-4)F是四阶张量，且有1FC(9-4-5)C是四阶弹性张量。应力状态使得0f时，物质处于弹塑性状态。0f是不可能的。相继屈服曲面0f也可看作应力空间内以q为参变量的曲面族，记作3960)()(qijijfqf，(9-4-6)q不变，曲面不变。当应力点位在此曲面之内时，状态变化，q不变，从而0dpij，物质呈现相继弹性。当应力点位在此曲面之上，且状态变化应力点不脱离此曲面时，q不变，从而0dpij，称为中性变载；当应力点从此曲面向内移动时，0d0pijq，，称为卸载；当应力点从此曲面向外移动时，这表示应力点从曲面0)(qijf移到另一曲面0d0)(dqfqqij上，，0dpij，称为加载。加载、中性变载和卸载过程如图9-6所示，或用式子表示如下载卸，中性变载，载加，0d0d0d0)(ijijijijijijqijffff(9-4-7)当0q时，物质是初始弹性的，相继屈服函数退化为初始屈服函数。0)()()(*cffqfijijqij，(9-4-8)图9-6因此，随着塑性变形的发展，初始屈服曲面在应力空间内如何变化是建立相继屈服函数的关键。当前广为应用的相继屈服函数或强化理论有：①等向强化理论加载函数中不包含pij，初始屈服曲面随p增长而比例扩大，且只胀不缩，即397cfcpFpFfqfijij(0))(0)()()(*，，(9-4-9)ppF是)(的单调增函数。②随动强化理论加载函数中不包含p，在塑性变形发展过程中，初始屈服曲面的大小和形状不变，只在应力空间平移，即0)ˆ()(*cijijijfqf，(9-4-10)式中ijijpklijijˆ0)0(ˆ)(ˆˆ；，且是初始屈服曲面的中心在应力空间的位移量。设为常数，pijijˆ(9-4-11)就得到线性随动强化模型。③混合强化理论认为随着塑性变形的发展，初始屈服曲面在应力空间内既按比例扩大，又发生平移，相继屈服函数为0)()ˆ()(*pFfqfijijij，(9-4-12)。，，，cFcpFijpklijij)0()(0)0(ˆ)(ˆˆ9-5塑性公设塑性本构关系(1)物质的稳定性假设在单轴拉伸情况下，如果曲线满足下列不等式0ddctEEE(9-5-1)则称物质是稳定的。推广到一般应力状态，稳定物质应满足的条件为0))(()1()2()1()2(ijijijij(9-5-2)0ddijij(9-5-3)第一式要在应力(或应变)空间内应力(或应变)路径是直线段。(2)Drucker公设在应力空间内的任何应力循环中，物质单元的余功不为正0dijij(9-5-4)则称物质满足Drucker公设。应力循环是指在应力空间内应力路径是闭曲线，但应变路径则不必是封闭的。与式(9-5-4)等价的不等式为0d)()1()1()2(ijijij(9-5-5)即在应力循环中，如果物质单元的净功不为负，则物质满足Drucker公设398(3)Ilusion公式在应变空间内的任何应变循环中，物质单元的功不为负0dijij(9-5-6)则称物质满足Ilusion公设。与上式等价的不等式为)