《近世代数》教学大纲

《近世代数》教学大纲大纲说明课程代码：4935032总学时数：48总学分：3学分适用专业：数学与应用数学专业（本科）预修要求：高等代数一、本课程的性质与目的：《近世代数》是现代数学的重要分支，是研究代数结构的一门科学，是数学专业的一门重要专业课程，它的基本概念、理论和方法已经渗透到数学的各个分支，是每个数学工作者所必须具备的基本素养之一；它的结果已广泛应用于自然科学与科技的许多方面，如理论物理、通讯、计算机科学等。此外，近世代数的某些内容，对于中学数学教学也具有指导意义。开设本课程的目的是使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识,提高抽象思维、逻辑推理和运算的能力，使学生获得一定的抽象代数的基础知识,受到代数方法的初步训练,为进一步学习代数后继课程打下基础，使学生能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题,培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力.二、本课程的主要教学内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想的定义。能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理。三、本课程教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。难点：商群、商环。四、本课程教学环节与要求：强调听课，复习，完成作业和课外辅导等教学环节。数学课是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。因此，独立完成作业是学好本课程的重要手段。大纲正文第一章基本概念学时：12学时教学要求：1、掌握集合、元素、子集、空集、集合的交与并、余集、补集和笛卡尔积集等概念。2、掌握集合的两种表示方法：列举全部元素表示集合，以及用元素所具有的性质表示集合。3、熟悉集合的各种运算，特别是笛卡尔积。会验证集合的相等关系。4、会进行是否为映射、单射、满射的验证及映射的相等关系的验证。5、掌握代数运算的定义、表示法，理解代数体系的意义。6、熟练运用几种常见的运算律：结合律、交换律、分配律，弄清它们的作用（各节相应的定理）及应用。7、理解同态映射、代数体系间同态的概念。8、理解同构、自同构映射、代数体系间同构的概念。9、理解等价关系、集合的分类、商集等概念，掌握等价关系与集合的分类之间的联系。教学内容：第一节集合与映射第二节代数体系，加于代数体系的一些条件——运算律：结合律、交换律、分配律第三节代数体系的比较——同态、同构第四节等价关系、集合的分类、商集第二章群论学时：20学时教学要求：1、掌握群的定义及性质。2、理解有限群、无限群、群的阶、群中元的阶、交换群、非交换群等概念。3、掌握变换群、置换群的概念，变换、置换的表示与计算，几种表示法之间的互相化，熟悉S3、S4及其子群的构造。了解变换群在数学上的地位。4、掌握命题：循环群G=（a）的结构由其生成元a的阶所决定。5、掌握子群的定义、判定条件及子群的生成。6、掌握左（右）陪集的概念、与之对应的等价关系。掌握指数的概念。掌握有限群的子群的阶与原群的阶的关系。掌握有限群的元的阶与群的阶的关系。7、掌握不变子群的概念及其判定条件。掌握商群的概念及商群阶的概念。8、掌握群间比较的基本原理———同态基本原理。教学内容：第一节群的定义第二节单位元、逆元、消去律第三节群的同态第四节变换群、置换群、循环群第五节子群、子群的陪集第六节不变子群、商群第七节同态与不变子群第三章环与域学时：16学时教学要求：1、理解加群、环的概念。2、理解环的一些附加条件：交换律、单位元、零因子。掌握零因子与消去律的关系。3、掌握整环、除环、域的概念。掌握无零因子环的特征的概念。4、掌握子环、子除环、子整环、子域等的概念及判定条件。5、一般掌握多项式环。6、掌握理想、平凡理想、主理想等概念。掌握主理想（a）中的元在各种情形下的表达式。7、掌握剩余类环的概念及例子。8、理解环的同态象亦为环。掌握理想、剩余类环、同态之间的联系。9、理解最大理想的概念。理解用最大理想构造一个域的方法。10、了解商域。教学内容：第一节加群、环的定义第二节交换律、单位元、零因子、整环第三节除环、域第四节无零因子环的特征第五节子环、环的同态、多项式环第六节理想第七节剩余类环、同态与理想、最大理想第八节商域学时分配表：章节内容教学时数讲授习题课自学第一章基本概念102第二章群论164第三章环与域124合格3810考核形式：考试（闭卷）参考书目：1．张禾瑞，《近世代数基础》，高等教育出版社，1983年版。2．刘云英，《抽象代数基础》，北京师范大学出版社，1990年。