《随机过程》第3章-泊松过程

随机过程第三章泊松过程1齐次Poisson过程2非齐次Poisson过程3复合Poisson过程4年龄与剩余寿命5更新过程增量过程计数过程中南民族大学经济学院《随机过程》第3章-泊松过程2定义：设𝑛个随机变量𝑌1,⋯,𝑌𝑛，记𝑌𝑘为𝑌1,⋯,𝑌𝑛中第𝑘个最小值𝑘=1,⋯,𝑛，即取值为每次样本观测值由小到大排序后的第𝑘个值，则称𝑌1,⋯,𝑌𝑛是对应于𝑌1,⋯,𝑌𝑛的顺序统计量。联合分布：设𝑌1,⋯,𝑌𝑛独立同分布，密度函数均为𝑓𝑦，对于任一排序𝑦1𝑦2⋯𝑦𝑛，𝑌1,⋯,𝑌𝑛取不同的𝑛!个排序，则𝑌1,𝑌2,⋯,𝑌𝑛的联合密度函数为𝑓𝑦1,𝑦2,⋯,𝑦𝑛=𝑛!𝑓𝑦𝑖𝑛𝑖=1顺序统计量前置知识当𝑌𝑖~𝑈0,𝑡时，有𝑓𝑦1,𝑦2,⋯,𝑦𝑛=𝑛!𝑡𝑛,0𝑦1𝑦2⋯𝑦𝑛𝑡0,𝑒𝑙𝑠𝑒计数过程顺序统计量中南民族大学经济学院《随机过程》第3章-泊松过程3独立增量过程：若随机过程{𝑋𝑡,𝑡∈𝑇}，∀𝑡1,𝑡2,⋯,𝑡𝑛∈𝑇,𝑡1𝑡2⋯𝑡𝑛，若随机变量的增量𝑋𝑡2−𝑋𝑡1,𝑋𝑡3−𝑋𝑡2,⋯,𝑋𝑡𝑛−𝑋𝑡𝑛−1相互独立，则该随机过程为独立增量过程。平稳增量过程：若随机过程{𝑋𝑡,𝑡∈𝑇}，∀𝑡,𝑡+𝜏∈𝑇，若𝑋𝑡+𝜏−𝑋𝑡的分布与𝑡无关，仅与𝜏有关，即𝑋𝑡1+𝜏−𝑋𝑡1,𝑋𝑡2+𝜏−𝑋𝑡2的分布相同，则该随机过程为平稳增量过程（或该过程具有时齐性、齐次性）。•任意不相交时间间隔上的增量都是相互独立的•任意相等时间间隔上的增量都是同分布的前置知识增量过程顺序统计量增量过程中南民族大学经济学院《随机过程》第3章-泊松过程4定义：如果用随机变量𝑁𝑡表示0,𝑡内发生随机事件的总数，则随机过程{𝑁𝑡,𝑡≥0}为一个计数过程。性质：•𝑁𝑡取非负整数值•∀0≤𝑡1𝑡2,𝑠.𝑡.𝑁𝑡1≤𝑁𝑡2•∀0≤𝑡1𝑡2,𝑁𝑡1,𝑡2=𝑁𝑡2−𝑁𝑡1等于时间区间𝑡1,𝑡2中发生的事件次数说明：•若{𝑁𝑡,𝑡≥0}在不相交时间区间中发生的事件次数是独立的，则{𝑁𝑡,𝑡≥0}具有独立增量；•若在任一时间区间中发生的事件数的分布只依赖于时间区间的长度，而与它的位置无关，即∀0≤𝑡1𝑡2,𝜏0，增量𝑁𝑡1,𝑡2,𝑁𝑡1+𝜏,𝑡2+𝜏同分布，则{𝑁𝑡,𝑡≥0}具有平稳增量。前置知识计数过程定义性质分解1齐次Poisson过程中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动5•一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程；•由法国著名数学家泊松证明；•1943年帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了泊松过程，辛钦于50年代在服务系统的研究中进一步发展；•是具有连续时间参数和离散状态空间的一类随机过程；•在金融和保险领域中广泛应用，如证券价格波动。背景背景性质分解《随机过程》第3章-泊松过程6中南民族大学经济学院设随机过程𝑁𝑡,𝑡≥0是一个计数过程，若满足：(1)𝑁0=0；(2)𝑁𝑡,𝑡≥0是独立增量过程；(3)∀０≤𝑠𝑡,𝑁𝑠,𝑡=𝑁𝑡−𝑁𝑠具有参数为𝜆𝑡−𝑠,𝜆0的泊松分布，即𝑃𝑁𝑡−𝑁𝑠=𝑘=𝑒−𝜆𝑡−𝑠𝜆𝑡−𝑠𝑘𝑘!,𝑘=0,1,2,⋯则称𝑁𝑡,𝑡≥0为具有参数𝝀的齐次Poisson过程。1齐次Poisson过程定义•称𝜆为𝑁𝑡,𝑡≥0的强度，即单位时间内发生事件的平均次数背景性质分解《随机过程》第3章-泊松过程7中南民族大学经济学院设随机过程𝑁𝑡,𝑡≥0是一个计数过程，若满足：(1)𝑁0=0；(2)𝑁𝑡,𝑡≥0是平稳独立增量过程；(3)∀ℎ0,𝑃𝑁ℎ≥2=𝑜ℎ)；(4)∀ℎ0,𝑃𝑁ℎ=1=𝜆ℎ+𝑜ℎ)则称𝑁𝑡,𝑡≥0为具有参数𝜆的齐次Poisson过程。1齐次Poisson过程定义•在有限时间间隔内发生的次数是有限的。•在非常短的时间间隔内次数为1的概率近似为𝜆ℎ，超过1次的概率是ℎ的高阶无穷小。等价定义定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程8中南民族大学经济学院•𝐸𝑁𝑡=𝑉𝑎𝑟𝑁𝑡=𝜆𝑡•𝐸𝑁2𝑡=𝜆𝑡+𝜆2𝑡2•𝜌𝑡1,𝑡2=𝐸𝑁𝑡1𝑁𝑡2=𝜆min𝑡1,𝑡2+𝜆2𝑡1𝑡2•𝐶𝑋𝑡1,𝑡2=𝐶𝑜𝑣𝑁𝑡1,𝑁𝑡2=𝜆min𝑡1,𝑡2•𝜑𝑁𝑡𝑢=𝐸𝑒𝑖𝑢𝑁𝑡=𝑒−𝜆𝑡𝑒𝜆𝑡𝑒𝑖𝑢=𝑒𝜆𝑡𝑒𝑖𝑢−11齐次Poisson过程性质数字特征定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程9中南民族大学经济学院•𝜌𝑡1,𝑡2=𝐸𝑁𝑡1𝑁𝑡2=𝜆min𝑡1,𝑡2+𝜆2𝑡1𝑡21齐次Poisson过程性质数字特征证明：不妨设𝑡1𝑡2，则𝜌𝑡1,𝑡2=𝐸𝑁𝑡1𝑁𝑡2=𝐸𝑁𝑡1𝑁𝑡1,𝑡2+𝑁𝑡1=𝐸𝑁2𝑡1+𝑁𝑡1𝑁𝑡1,𝑡2=𝐸𝑁2𝑡1+𝐸𝑁𝑡1𝐸𝑁𝑡1,𝑡2=𝜆𝑡1+𝜆2𝑡12+𝜆𝑡1𝜆𝑡2−𝑡1=𝜆𝑡1+𝜆2𝑡1𝑡2类似设𝑡1𝑡2，则𝜌𝑡1,𝑡2=𝜆𝑡2+𝜆2𝑡1𝑡2∴𝜌𝑡1,𝑡2=𝐸𝑁𝑡1𝑁𝑡2=𝜆min𝑡1,𝑡2+𝜆2𝑡1𝑡2定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程10中南民族大学经济学院•𝐶𝑋𝑡1,𝑡2=𝐶𝑜𝑣𝑁𝑡1,𝑁𝑡2=𝜆min𝑡1,𝑡21齐次Poisson过程性质数字特征证明：𝐶𝑋𝑡1,𝑡2=𝐶𝑜𝑣𝑁𝑡1,𝑁𝑡2=𝐸𝑁𝑡1𝑁𝑡2−𝐸𝑁𝑡1𝐸𝑁𝑡2=𝜆min𝑡1,𝑡2+𝜆2𝑡1𝑡2−𝜆2𝑡1𝑡2=𝜆min𝑡1,𝑡2定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程11中南民族大学经济学院•𝜑𝑁𝑡𝑢=𝐸𝑒𝑖𝑢𝑁𝑡=𝑒−𝜆𝑡𝑒𝜆𝑡𝑒𝑖𝑢=𝑒𝜆𝑡𝑒𝑖𝑢−11齐次Poisson过程性质数字特征证明：𝜑𝑁𝑡𝑢=𝐸𝑒𝑖𝑢𝑁𝑡=𝑒𝑖𝑢𝑘𝑒−𝜆𝑡𝜆𝑡𝑘𝑘!+∞𝑘=0=𝑒−𝜆𝑡𝜆𝑡𝑒𝑖𝑢𝑘𝑘!+∞𝑘=0=𝑒−𝜆𝑡𝑒𝜆𝑡𝑒𝑖𝑢=𝑒𝜆𝑡𝑒𝑖𝑢−1定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程12中南民族大学经济学院设𝑁𝑡,𝑡≥0为齐次泊松过程，强度为𝜆，由𝑃𝑁ℎ≥2=𝑜ℎ知，0,𝑡内共发生了𝑁𝑡次事件，且一个接一个发生。•用𝑆𝑛表示第𝑛个事件发生的时刻（或等待时刻），称𝑆𝑛,𝑛≥0为到达时刻序列，且有0=𝑆0𝑆1𝑆2⋯𝑆𝑛⋯→∞。•令𝑋𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥1，则𝑋𝑛表示第𝑛−1个事件到第𝑛个事件之间的时间间隔，称𝑋𝑛,𝑛≥1为到达时间间隔序列。1齐次Poisson过程性质到达时刻与时间间隔序列𝑋1𝑆1𝑆0𝑆2𝑆3𝑆𝑁𝑡−1𝑆𝑁𝑡)𝑡𝑋2𝑋3𝑆𝑛=𝑋𝑖𝑛𝑖=1,𝑛≥1定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程13中南民族大学经济学院强度为𝜆的齐次泊松过程𝑁𝑡,𝑡≥0的到达时间间隔序列𝑋𝑛,𝑛≥1是独立同分布的随机变量序列，且服从𝐸𝑥𝑝𝜆，均值为1𝜆。1齐次Poisson过程性质时间间隔的分布证明：𝑃𝑋1𝑡=𝑃𝑁𝑡=0=𝑒−𝜆𝑡⟹𝑃𝑋1≤𝑡=1−𝑒−𝜆𝑡=𝜆𝑒−𝜆𝑠𝑑𝑠𝑡0∴𝑋1~𝐸𝑥𝑝𝜆,𝐸𝑋1=1𝜆𝑋1𝑡𝑆0𝑆1定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程14中南民族大学经济学院强度为𝜆的齐次泊松过程𝑁𝑡,𝑡≥0的到达时间间隔序列𝑋𝑛,𝑛≥1是独立同分布的随机变量序列，且服从𝐸𝑥𝑝𝜆，均值为1𝜆。1齐次Poisson过程性质证明(续)：𝑃𝑋2𝑡𝑋1=𝑠=𝑃𝑁𝑠+𝑡−𝑁𝑠=0𝑁𝑠=1=𝑃𝑁𝑠+𝑡−𝑁𝑠=0=𝑃𝑁𝑡=0=𝑒−𝜆𝑡∴𝑋2与𝑋1独立，且𝑋2~𝐸𝑥𝑝𝜆,𝐸𝑋2=1𝜆𝑋1𝑆1𝑆0𝑆2𝑋2←𝑠→←𝑡→独立增量平稳增量𝑃𝑁𝑡−𝑁0=0=𝑃𝑁𝑡=0时间间隔的分布定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程15中南民族大学经济学院强度为𝜆的齐次泊松过程𝑁𝑡,𝑡≥0的到达时间间隔序列𝑋𝑛,𝑛≥1是独立同分布的随机变量序列，且服从𝐸𝑥𝑝𝜆，均值为1𝜆。1齐次Poisson过程性质证明：𝑃𝑋1𝑡=𝑃𝑁𝑡=0=𝑒−𝜆𝑡⟹𝑃𝑋1≤𝑡=1−𝑒−𝜆𝑡=𝜆𝑒−𝜆𝑠𝑑𝑠𝑡0∴𝑋1~𝐸𝑥𝑝𝜆,𝐸𝑋1=1𝜆𝑃𝑋2𝑡𝑋1=𝑠=𝑃𝑁𝑠+𝑡−𝑁𝑠=0𝑁𝑠=1=𝑃𝑁𝑠+𝑡−𝑁𝑠=0=𝑃𝑁𝑡=0=𝑒−𝜆𝑡∴𝑋2与𝑋1独立，且𝑋2~𝐸𝑥𝑝𝜆,𝐸𝑋2=1𝜆∴依此类推，𝑋𝑛相互独立，且𝑋𝑛~𝐸𝑥𝑝𝜆,𝐸𝑋𝑛=1𝜆时间间隔的分布定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程16中南民族大学经济学院强度为𝜆的齐次泊松过程𝑁𝑡,𝑡≥0的到达时刻序列𝑆𝑛,𝑛≥0服从参数𝑛,𝜆为𝛤的分布，即𝐸𝑟𝑙𝑎𝑛𝑔𝑛,𝜆，密度函数为𝑓𝑡=𝜆𝑒−𝜆𝑡𝜆𝑡𝑛−1𝑛−1!,𝑡≥01齐次Poisson过程性质到达时刻的分布证明：𝑆𝑛=𝑋𝑖𝑛𝑖=1,𝑛≥1∵∀𝑛≥1,𝑋𝑛𝑖.𝑖.𝑑~𝐸𝑥𝑝𝜆∴𝜑𝑋𝑛𝑢=𝜆𝜆−𝑖𝑢∴𝜑𝑆𝑛𝑢=𝜆𝜆−𝑖𝑢𝑛⟹𝑆𝑛∼𝛤𝑛,𝜆=𝐸𝑟𝑙𝑎𝑛𝑔𝑛,𝜆定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程17中南民族大学经济学院随机过程𝑁𝑡,𝑡≥0是强度为𝜆的齐次泊松过程1时间间隔序列𝑋𝑛,𝑛≥1独立同分布，𝑋𝑛~𝐸𝑥𝑝𝜆2到达时刻序列𝑆𝑛,𝑛≥0服从𝐸𝑟𝑙𝑎𝑛𝑔𝑛,𝜆1齐次Poisson过程性质泊松过程的等价定义定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程18中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程的等价定义证明：等价事件：𝑁𝑡=𝑛≡𝑆𝑛≤𝑡∩𝑆𝑛+1𝑡𝑃𝑁𝑠+𝑡−𝑁𝑠=𝑛𝑁𝑠=𝑚=𝑃𝑁𝑠+𝑡−𝑁𝑠=𝑛,𝑁𝑠=𝑚𝑃𝑁𝑠=𝑚=𝑃𝑁𝑠+𝑡=𝑛+𝑚,𝑁𝑠=𝑚𝑃𝑁𝑠=𝑚=𝑃𝑆𝑛+𝑚≤𝑠+𝑡,𝑆𝑛+𝑚+1𝑠+𝑡,𝑆𝑚≤𝑠,𝑆𝑚+1𝑠𝑃𝑆𝑚≤𝑠,𝑆𝑚+1𝑠=𝑃𝑆𝑚≤𝑠,𝑆𝑚+1𝑠𝑃𝑆𝑛≤𝑡,𝑆𝑛+1𝑡𝑃𝑆𝑚≤𝑠,𝑆𝑚+1𝑠=𝑃𝑆𝑛≤𝑡,𝑆𝑛+1𝑡=𝑃𝑁𝑡=𝑛∴𝑁𝑡,𝑡≥0为独立平稳增量过程𝑆0𝑆𝑛+𝑚+1𝑆𝑛+𝑚𝑆𝑚+1𝑆𝑚𝑠𝑡~~(1)独立平稳增量性定义背景分解《随机过程》第3章-泊松过程19中南民族大学经济学院1齐次Poisson过程性质泊松过程的等价定义证明：𝑃𝑁𝑡=𝑛=𝑃𝑆𝑛≤𝑡−𝑃𝑆𝑛+1≤𝑡=𝜆𝑒−𝜆𝑥𝜆𝑥𝑛−1𝑛−1!𝑑𝑥𝑡0−𝜆𝑒−𝜆𝑥𝜆𝑥𝑛𝑛!𝑑𝑥𝑡0令𝑢=𝜆𝑥=𝑒−𝑢𝑢𝑛−1