《高三数学总复习》数学理新课标A版一轮总复习课件第6章不等式推理与证明-5

第六章不等式、推理与证明自主园地备考套餐课前学案基础诊断第五节合情推理与演绎推理课堂学案考点通关开卷速查1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．考纲导学3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.夯基固本基础自测课前学案基础诊断答案：1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤：观察、比较→联想、类推→猜想新结论3个注意点——应用合情推理与演绎推理应注意的问题(1)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析：由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．答案：C2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.则x－20＝12，因此x＝32.答案：B3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③正确．答案：B4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶85．观察下列不等式1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274……按此规律，第五个不等式为__________．解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n22n－1n(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162116考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一归纳推理【例1】(1)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……依此规律，第n个等式可为__________．(2)[2013·湖北]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为nn＋12＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，…………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝__________.(3)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．①n级分形图中共有__________条线段；②n级分形图中所有线段长度之和为__________．解析：(1)第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn＋12.(2)由题中数据可猜想：含n2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n项的系数为首项是12，公差是－12的等差数列，因此N(n，k)＝12＋k－312n2＋12＋k－3－12·n＝k－22n2＋4－k2n.故N(10,24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1000.(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn＝3×23n－1(n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×230＋3×231＋…＋3×23n－1＝3×1－23n1－23＝9－9×23n.答案：(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn＋12(2)1000(3)①3×2n－3②9－9×23n►名师点拨归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．通关特训1(1)设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__________.(2)观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．解析：(1)根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝x2n－1x＋2n.(2)第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝71＋72＝28，即第6个图中有28个小正方形．答案：(1)x2n－1x＋2n(2)28考点二类比推理【例2】如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则1×h1＋2×h2＋3×h3＋4×h4＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4的值为()A.4VkB.3VkC.2VkD.Vk解析：在平面凸四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)＝12(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝k2(h1＋2h2＋3h3＋4h4)．所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝2Sk.类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝13(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)＝k3(H1＋2H2＋3H3＋4H4)，所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝3Vk.答案：B►名师点拨类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．通关特训2在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为__________”．解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案：V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.考点三演绎推理【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2n·Sn(n∈N*)，证明：(1)数列{Snn}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，又S11＝1≠0，(小前提)故{Snn}是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)►名师点拨应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．通关特训3已知函数f(x)＝－aax＋a(a0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于点12，－12对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．解析：(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点12，－12对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知得y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，f(1－x)＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a·axa＋a·ax＝－axax＋a，∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图像关于点12，－12对称．(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.请做：word部分：自主园地备考套餐点此进入该word板块请做：word部分：开卷速查(三十七)点此进入该word板块