《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件第5章数列-5

第五章数列自主园地备考套餐课前学案基础诊断第五节数列的综合问题课堂学案考点通关开卷速查考纲导学能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．2．数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．3．数列的应用题(1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．(2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．2种思想——函数思想与转化化归思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等．3个注意点——数列与函数、不等式、解析几何相结合应注意的问题(1)数列与解析几何结合时注意递推．(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．1．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是()A．0B．1C．2D．4解析：∵x，a，b，y成等差数列，∴a＋b＝x＋y，又x，c，d，y成等比数列，∴cd＝xy.∴a＋b2cd＝x＋y2xy＝2＋x2＋y2xy≥2＋2xyxy＝4.当且仅当x＝y时取等号，所以a＋b2cd的最小值是4.答案：D2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟解析：设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，即1－2n1－2≥100，解得n≥7.答案：B3．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定解析：a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．答案：B4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．解析：由于凸n边形的内角和为(n－2)π，故2π3n＋nn－12×π36＝(n－2)π.化简得n2－25n＋144＝0.解得n＝9或n＝16(舍去)．答案：95．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn＝________，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析：∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，它在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，与x轴交点的横坐标为xn＝1－1n＋1＝nn＋1，由an＝lgxn得an＝lgn－lg(n＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.答案：nn＋1－2考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一等差、等比数列的综合问题【例1】已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解析：(1)设{an}的公差为d.由题意，得a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)．故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.►名师点拨解决等差、等比数列的综合问题的方法对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．通关特训1已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{1Sn}的前n项和Tn.解析：(1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.(2)由(1)知an＝2n＋1，则Sn＝n(n＋2)，1Sn＝121n－1n＋2，Tn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32n＋1n＋2.考点二数列在实际问题中的应用【例2】某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．参考数据：823≈0.9505，923≈0.9559解析：(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y＝5×9.3＋5×5－12×(－0.3)＝43.5(万吨)．所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约为43.5万吨．(2)由已知得，2012年的SO2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1－p的等比数列．由题意得9×(1－p)8＜6，由于0＜p＜1，所以1－p＜823，所以1－p＜0.9505，解得p＞4.95%.所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1)．►名师点拨解决数列应用题应注意的问题解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是Sn，特别是要弄清项数．通关特训2某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．解析：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4500－52d.an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.(2)由(1)得an＝32an－1－d＝3232an－2－d－d＝322an－2－32d－d…＝32n－1a1－d1＋32＋322＋…＋32n－2.整理得an＝32n－1(3000－d)－2d32n－1－1＝32n－1(3000－3d)＋2d.由题意，am＝4000，即32m－1(3000－3d)＋2d＝4000.解得d＝32m－2×100032m－1＝10003m－2m＋13m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为10003m－2m＋13m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．考点三数列与函数、不等式的综合应用【例3】已知函数f(x)＝lnx－x，数列{an}满足a1＝12，an＋1＝12－an.(1)求证：f(x)≤－1；(2)证明数列{1an－1}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(3)求证不等式a1＋a2＋…＋an＜n＋ln2－ln(n＋2)．证明：(1)令g(x)＝f(x)＋1＝lnx－x＋1，g′(x)＝1x－1＝1－xx，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时g′(x)＜0，故g(x)在x＝1处取得极大值，也是最大值，所以g(x)≤g(1)＝0，故f(x)≤－1.(2)因为an＋1＝12－an，∴an＋1－1＝12－an－1＝an－12－an.∴1an＋1－1＝1an－1－1，即数列{1an－1}是首项为1a1－1＝－2，公差d＝－1的等差数列，∴1an－1＝－n－1，∴an＝nn＋1.(3)∵an＝1－1n＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝1－12＋1－13＋…＋1－1n＋1＝n－12＋13＋…＋1n＋1.由(1)知当x＞1时，f(x)＋1＜0，即lnx＜x－1，令x＝n＋2n＋1＝1n＋1＋1，得lnn＋2n＋1＜1n＋1＋1－1＝1n＋1；∴ln32＋ln43＋…＋lnn＋2n＋1＜12＋13＋…＋1n＋1，∴ln(n＋2)－ln2＜12＋13＋…＋1n＋1，∴n－12＋13＋…＋1n＋1＜n＋ln2－ln(n＋2)，∴a1＋a2＋…＋an＜n＋ln2－ln(n＋2)．►名师点拨数列与函数、不等式的综合问题的常见类型及解题策略(1)数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性、极值等解决问题．2与数列有关的不等式证明问题.解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.通关特训3[2013·安徽]设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′π2＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an＋12an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)由题设可得，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.对任意n∈N*，f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2an＋12an＝2n＋1＋12n＋1＝2n＋12n