【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第7章第3节简单的线性规划问题

-1-第七章第三节一、选择题1．(文)若2x＋4y4，则点(x，y)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案]D[解析]∵2x＋4y≥22x＋2y，由条件2x＋4y4知，22x＋2y4，∴x＋2y2，即x＋2y－20，故选D．(理)(2013·衡水模拟)已知点P(2，t)在不等式组x－y－4≤0，x＋y－3≤0，表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0距离的最大值为()A．2B．4C．6D．8[答案]B[解析]画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)．结合图形可知，点A到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由x＝2x＋y－3＝0得A点坐标为(2,1)，故所求最大距离为dmax＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝4.2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案]B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；-2-y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．3．(2014·唐山市二模)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为()A．1，－1B．2，－2C．1，－2D．2，－1[答案]B[解析]不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点(1,0)时，2x＋y取最大值2，当l0经过点(－1,0)时，2x＋y取最小值－2.4．(文)(2014·邯郸质检)已知实数x，y满足x－2y＋1≥0|x|－y－1≤0，则z＝2x＋y的最大值为()A．4B．6C．8D．10[答案]C[解析]依题意，画出不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0(图略)，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝2x＋y取得最大值，最大值是2×3＋2＝8，选C．(理)(2014·哈三中一模)若变量x，y满足约束条件x≥1x＋y－4≤0x－3y＋4≤0，则目标函数z＝3x－y的最小值为()A．－4B．0C．43D．4[答案]B[解析]作出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，平移l0当经过可行域内的点A(1，53)时，-3-－z最大．从而z取最小值．∴zmin＝3×1－53＝43.5．(文)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤3，x＋2y－2≥0，所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为()A．25B．13C．3D．5[答案]B[解析]在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是13，选B．(理)已知x，y满足不等式组x＋y≤2，y－x≥0，x≥0.目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有()A．a1B．a－1C．a1D．a－1[答案]D[解析]作出可行域如图阴影部分所示．-4-由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a1，故a－1，故选D．6．(文)已知约束条件x－3y＋4≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为()A．0a13B．a≥13C．a13D．0a12[答案]C[解析]作出可行域如图，∵目标函数z＝x＋ay恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－1a－3，∴a13.(理)(2014·石家庄市二检)已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m.如果目标函数z＝x－y的最小值为－2，则实数m的值为()A．0B．2C．4D．8[答案]D-5-[解析]不等式组y≥1y≤2x－1x＋y≤m表示的平面区域如图所示，由2x－y－1＝0，x＋y－m＝0.得x＝1＋m3，y＝2m－13.作直线l0：x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(1＋m3，2m－13)时，z＝x－y取最小值－2，∴1＋m3－2m－13＝－2，∴m＝8.二、填空题7．(文)(2014·海南六校联考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________．[答案]－13[解析]画出不等式组2x－y－2≥0x＋2y－1≥03x＋y－8≤0表示的平面区域如图所示．由x＋2y－1＝03x＋y－8＝0，得x＝3，y＝－1.∴当点M的坐标为(3，－1)时，直线OM的斜率取最小值－13.-6-(理)(2014·豫东、豫北十所名校段测)已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤2x≤－1，则xy的取值范围是________．[答案](－1，－13][解析]画出约束条件1≤x＋y≤2x≤－1表示的平面区域如图所示．yx表示平面区域内的点与原点连线的斜率的取值范围，yx∈[－3，－1)，∴xy∈(－1，－13]．[点评]数形结合思想在线性规划中的应用：线性规划问题的求解基本上是在图上完成的，注意图形要力求准确规范．另外还要记住常见代数式的几何意义：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(3)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率等．练习下列各题：①变量x、y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．[分析]作出可行域，理清所求表达式的几何意义，数形结合求解．[解析]由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.作出(x，y)的可行域如图所示．-7-由x＝1，3x＋5y－25＝0，，解得A1，225.由x＝1，x－4y＋3＝0，，解得C(1,1)．由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．(1)∵z＝yx＝y－0x－0.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.(3)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29，∴2≤z≤29.(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝－3－52＋2－22＝8.∴16≤z≤64.②设不等式组x－y＋2≤0，x≥0，y≤4.表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．[2,4]D．[2，＋∞)[答案]D[解析]作出可行区域，如图，由题可知点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a2≥4，-8-∴a≥2或a≤－2，又a0且a≠1，∴a≥2.③设实数x，y满足不等式组x－y－1≥0，2x－y－6≤0，x＋y－k－2≥0，且x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是()A．(17－2,5)B．[17－2,5]C．(17－2,5]D．(0,5][答案]B[解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2＋y2的最小值m即为|OA|2，联立x－y－1＝0x＋y－k－2＝0，得A(k＋32，k＋12)．由题知9≤(k＋32)2＋(k＋12)2≤25，解得17－2≤k≤5.④(2014·山东青岛一模)已知实数x，y满足约束条件x0，4x＋3y≤4，y≥0，则w＝y＋1x的最小值是()A．－2B．2C．－1D．1[答案]D[解析]画出可行域，如图所示．w＝y＋1x表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为－1－00－1＝1，故选D．-9-⑤(2014·安徽池州一中月考)设二元一次不等式组x－y＋8≥0，2x＋y－14≤0，x＋2y－19≥0所表示的平面区域为M，使函数y＝ax2的图象过区域M的a的取值范围是()A．[89，52]B．[52，9]C．(－∞，9)D．[89，9][答案]D[解析]题中可行域M如图所示，y＝ax2经过可行域M，则a0，分别计算出经过(3,8)，(1,9)点时a的值，则a1＝89，a2＝9，所以a的取值范围为[89，9]，故选D．8．(2014·北京西城一模)若不等式组x≥1，y≥0，2x＋y≤6，x＋y≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________．[答案](3,5)[解析]平面区域如图中的阴影部分，直线2x＋y＝6交x轴于点A(3,0)，交直线x＝1于点B(1,4)，当直线x＋y＝a与直线2x＋y＝6在线段AB(不包括线段端点)时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝3，将点B的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝5，故实数a的取值范围是(3,5)．9．(2014·吉林市二检)已知实数x，y满足y≤xx＋y≤1y≥－1，则目标函数z＝2x－y的最大值为________．[答案]5-10-[解析]不等式组表示的平面区域如图所示，作直线l0：2x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(2，－1)时，z取最大值5.[点评]应注意线性目标函数z＝ax＋by当b0与b0时最值的不同．设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3，则目标函数z＝4x＋y的最大值为________．[答案]11[解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.三、解答题10．(文)某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析]设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为z＝x＋1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：20x＋40y≤160，30x＋30y≤180，x≥0，y≥0x∈N，y∈N，即x＋2y≤8，x＋y≤6，x≥0，y≥0x∈N，y∈N，作出可行域如图，解方程组-11-x＋2y＝8，x＋y＝6，得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多．(理)(2013·山东诸城一中月考)为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两个项目