【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件专题整合2(函数与基本初等函数)

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学函数与基本初等函数第二章第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络1题型归类2第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学题型归类第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了．数形结合思想(一)函数中的思想与方法已知曲线y＝2x－x2(0≤x≤2)与直线y＝k(x－2)＋2有两个交点，求实数k的取值范围________．第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]由y＝2x－x2，得(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即以(1,0)为圆心，1为半径在x轴上方的半圆，如图，而y＝k(x－2)＋2是过定点P(2,2)，斜率为k的直线．连结PO，kPO＝1，过点P作圆的切线PQ，由|－k＋2|1＋k2＝1，得kPQ＝34，由图易知过P点的直线位于PQ(不包含PQ)和PO(包含PO)之间时与半圆有两个交点，故得34k≤1.[答案]34k≤1第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．函数与方程的思想方法第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学设不等式2x－1m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立．求x的取值范围．[思路分析]此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论．然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x2－1)m－(2x－1)0在[－2,2]上恒成立的问题．即不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题．设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[－2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件f20，f－20.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]问题可变成关于m的一次不等式：(x2－1)m－(2x－1)0在[－2,2]上恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则f2＝2x2－1－2x－10，f－2＝－2x2－1－2x－10，解得x∈7－12，3＋12.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学分类讨论思想在本板块中有突出的体现，指数函数、对数函数中对底数a的讨论尤其是重点，而在幂函数中对幂指数的正负的讨论也常有应用．分类讨论思想第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，若存在，说明a可取哪些值；若不存在，说明理由．[规范解答]设g(x)＝ax2－x，(1)当a1时，要使函数f(x)在[2,4]上是增函数，则g(x)在[2,4]上也是增函数则有12a≤2且g(2)＝4a－20，解得a12，∴a1.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)当0a1时，g(x)在[2,4]上必为减函数，则有12a≥4且g(4)＝16a－40，无解．故a1时，函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学转化与化归思想是中学重要的数学思想，如把对数式与指数式进行必要的转化，把指数或对数问题通过换元转化为二次函数或二次方程的问题等，其作用就是能将复杂的问题进行分解、化归为简单易求的问题．转化与化归思想第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学当x∈[－1,1]时，若22x－1ax＋1(a0)恒成立，试求实数a的取值范围．[思路分析]如果直接求解，则需要讨论a与2的大小关系，而这里x又是区间[－1,1]上的变量，因此，讨论将变得复杂；如若能借助指数式与对数式之间的关系，则会将问题转化为一次函数，问题便迎刃而解．第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]22x－1ax＋1⇒(2x－1)lg2(x＋1)lga⇒x·lg4a－lg(2a)0.设f(x)＝xlg4a－lg(2a)，由x∈[－1,1]时，f(x)0恒成立，得f10，f－10，即lg4a－lg2a0，－lg4a－lg2a0，解得a2.故实数a的取值范围是(2，＋∞).第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)＝g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)＝g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等．待定系数法在求解函数解析式中的应用第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学已知二次函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤18(x＋2)2成立．(1)求证：f(2)＝2；(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；(3)设g(x)＝f(x)－m2x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图像上的点都位于直线y＝14的上方，求实数m的取值范围．第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学[思路分析]本题的突破在于设出二次函数的一般式，根据已知条件列出关于参数a，b，c的方程或其他关系式来求解．[规范解答](1)证明：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，b，c∈R)，由条件知f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．当取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)∵4a＋2b＋c＝2，4a－2b＋c＝0，∴4a＋c＝2b＝1，∴b＝12，c＝1－4a，又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，∴a0，Δ＝12－12－4a(1－4a)≤0，即4a－122≤0，∴a＝18，∴c＝1－4a＝12.∴f(x)＝18x2＋12x＋12.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学(3)由分析条件知道，只要f(x)图像(在y轴右侧)总在直线y＝m2x＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置．于是y＝18x2＋12x＋12，y＝m2x＋14.利用相切时Δ＝0，解得m＝1＋22，∴m∈－∞，1＋22.另解：g(x)＝18x2＋12－m2x＋1214在x∈[0，＋∞)上恒成立，即x2＋4(1－m)x＋20在x∈[0，＋∞)上恒成立，第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学①Δ0，即[4(1－m)]2－80，解得1－22m1＋22；②Δ≥0，－21－m≤0，f00，解得m≤1－22.总之，m∈－∞，1＋22.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学若题目中给出了抽象函数满足的关系式，在处理这类抽象函数的问题时，一般地，应将所给的关系式看作给定的运算法则，对某些变量进行适当的赋值，并且变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．对某些变量进行适当的赋值是一般向特殊转化的必要手段．抽象函数问题第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若不等式f(a2＋a－5)2的解集为{a|－3a2}，求f(2015)的值．[思路分析]对于抽象函数问题，特殊值的代入是问题的突破口，利用题目中所给关系式是问题的着手点．第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答](1)证明：设x1x2，x1、x2∈R，∴x2－x10，∴f(x2－x1)1.∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1f(x1)．∴函数f(x)在R上是增函数．第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)∵f(a2＋a－5)2，设f(m)＝2，∴f(a2＋a－5)f(m)，∵f(x)在R上是增函数，∴a2＋a－5－m0，又其解集为－3a2，∴－3×2＝－5－m，∴m＝1，即f(1)＝2.令x＝n(n∈N＋)，y＝1.∴f(n＋1)＝f(n)＋f(1)－1＝f(n)＋1.∴数列{f(n)}是以f(1)＝2为首项，公差d＝1的等差数列．∴f(2015)＝f(1)＋(2015－1)×1＝2016.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学(二)抽象函数周期性问题的研究抽象函数已逐渐成为近年高考热点，确定函数的周期是一大难点，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本专题谈谈确定抽象函数周期的几种类型．重点谈以下几类问题：对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意x，(1)函数值之和等于零型；(2)函数图像有x＝a，x＝b两条对称轴型；(3)函数值互为倒数或负倒数型；(4)分式递推型.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学即函数f(x)满足f(x＋a)＋f(x＋b)＝0(a≠b)．对于定义域中任意x满足f(x＋a)＋f(x＋b)＝0(a≠b)，即f(x＋a)＝－f(x＋b)，则f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)＝－f((x＋a)＋b)＝－f((x＋b)＋a)＝f((x＋b)＋b)，即f(x＋2a)＝f(x＋2b)＝f((x＋2a)＋2b－2a)，等价于f(x＋2b－2a)＝f(x)，故函数f(x)的周期T＝2(b－a)．函数值之和等于零型第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学设函数f(x)是R上的奇函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝12对称，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)等于________．[规范解答]y＝f(x)的图像关于直线x＝12对称，则f12＋x＝f12－x(*)函数f(x)是R上的奇函数，则f12－x＝－f－12＋x.第二章函数与基本初等函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学(*)式即f12＋x＋f－12＋x＝0，b＝12，a＝－12，f(x)的周期T＝2(b－a)＝2.在(*)式中令x＝12可得f(