【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件38应用举例

第八节应用举例【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)三角形中常用的面积公式:①S=ah(h表示边a上的高).②S=bcsinA=________=_________.12121acsinB21absinC2(2)实际应用中的常用术语:术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α360°术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)××度例:①北偏东m°②南偏西n°术语名称术语意义图形表示坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α,坡度为i,则i==tanα坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比hl2.必备结论教材提炼记一记三角形的面积公式:S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)=(R为三角形外接圆半径).3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:利用正弦定理求边和角的方法,利用余弦定理求边和角的方法.(2)数学思想:数形结合、转化化归.12abc4R【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)公式S=bcsinA=acsinB=absinC适用于任意三角形.()(2)东北方向就是北偏东45°的方向.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角.()(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是()121212π[0,).2【解析】(1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立.(2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向.(3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,故大小的范围为[0,2π),而方向角大小的范围由定义可知为答案:(1)√(2)√(3)×(4)√π[0,).22.教材改编链接教材练一练(1)(必修5P11例1改编)如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是m米,∠BAC=α,∠ACB=β,则A,B两点间的距离为()msinαmsinαA.B.sinβsin(αβ)msinβmsin(αβ)C.D.sin(αβ)sinαsinβ【解析】选C.在△ABC中,∠ABC=π-(α+β),AC=m,由正弦定理，得所以AB=ABAC,sinβsinABCmsinβmsinβ.sinπαβsinαβ［］(2)(必修5P20T1改编)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c，则△ABC的面积公式可表示为()A.S=absinAB.S=bccosAC.S=D.S=121221sinAsinCa2sinB21sinBsinCa2sinA【解析】选D.因为S△=absinC=bcsinA=acsinB,所以A和B都不正确.因为所以故选D.121212baasinB,b,sinBsinAsinA即211asinB1sinBsinCSabsinCasinCa,22sinA2sinA3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·福建高考)在△ABC中，∠A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于________.【解析】由题知，BC2=AB2+AC2－2AB·AC·cosA，即12=AB2+16－2×4×AB·，解得AB=2，所以S=|AB|·|AC|·sinA=2．答案：23121233(2)(2015·重庆模拟)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东(填角度)的方向前进.3【解析】设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且由正弦定理得又0°∠BAC60°，所以∠BAC＝30°.答案：30°AC3BC＝，ACsin12013sinBAC.BCsinBAC2＝＝＝考点1测量距离问题【典例1】(1)(2014·四川高考)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()(本例源自教材必修5P24T5)A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m3332(2)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在河的这一岸选取基线CD,测得CD=km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求AB的长.3【解题提示】(1)先解直角三角形求AC的长,再解斜三角形求河宽BC.(2)解三角形时至少知道一边,所以先选择CD边所在的三角形ADC,三角形BCD,再选择AB边所在的三角形,分别解三角形求解.【规范解答】(1)选C.设气球的高度为AD,交CB延长线于点D,在Rt△ACD中,AC=120m,在△ABC中,由正弦定理知,AC120BCsinBACsin45sinABCsin10560212031m.sin(6045)（）(2)①在△ADC中,∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°，∠ACD=60°,所以△ADC是等边三角形，故AC=CD=②在△BCD中,∠BDC=30°，∠BCD=∠BCA+∠ACD=45°+60°=105°,所以∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=45°,因为CD=所以由正弦定理，得即3.3,BCCD,sinBDCsinDBC36BCsin30.sin452③在△ACB中,AC=，BC=，∠ACB=45°，所以由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB故AB的长为km.362663323cos45,4226AB.2即62【一题多解】解答本例(2),你还知道其他方法吗?解答本例(2)还可以如下求解:在△ADC中,∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,所以△ADC是等边三角形,故AC=CD=,因为∠ADB=∠CDB=30°,所以DB是∠ADC的平分线,故DB是AC的垂直平分线,3所以BA=BC,故∠BAC=∠BCA=45°,所以∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=90°,所以AB2+BC2=AC2,即2AB2=3,解得AB=,故AB的长为km.6262【规律方法】1.距离问题的类型及解法(1)类型:测量距离问题分为三种类型:两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解.2.解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解能求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.提醒:注意三角形可解的条件:即三角形中必须知道三个元素且三个元素中至少有一条边.【变式训练】(2015·汉中模拟)某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.求此时汽车离汽车站的距离.【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理，得cosC=则sin2C=1-cos2C=所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=222ACBCAB23,2ACBC312432123,sinC,3131353.62在△MAC中，由正弦定理，得从而有MB=MC-BC=15(千米),故汽车离汽车站的距离是15千米.ACsinMAC31353MC35,sinAMC6232【加固训练】1.某人在高出海面600米的山上P处,测得海面上的航标A在正东,俯角为30°,航标B在南偏东60°,俯角为45°,则这两个航标间的距离为米.【解析】如图,设PO表示山高,则PO=600.由题意知,PO⊥OA,PO⊥OB,∠OPA=90°-30°=60°,∠OPB=90°-45°=45°,∠AOB=90°-60°=30°,在Rt△POA中,OA=tan60°·600=600,在Rt△POB中,OB=OP=600,在△AOB中,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=(600)2+6002-2×600×600×cos30°=6002,所以AB=600.答案:6003332.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向,则海轮的速度为海里/分钟.【解析】由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得所以AC＝所以海轮航行的速度为(海里/分钟).答案：ACABsinBsinACB＝，ABsinB20sin60106sinACBsin45＝＝，1066303＝63考点2测量高度、角度问题【典例2】(1)(2015·济南模拟)在200米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为()20020034004003A.mB.mC.mD.m3333(2)在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?33【解题提示】(1)结合题意,画出图形,分别解直角三角形、斜三角形可求.(2)结合题意,画出准确的图形是解题的关键,同时注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,设在D处相遇,则可先在△ABC中求出BC,再在△BCD中求∠BCD.【规范解答】(1)选C.如图,设AB表示山高,CD表示塔高,则∠DBC=60°-30°=30°,∠ABC=90°-60°=30°,连接AC,在Rt△BAC中，cos∠ABC=,所以在△BDC中，∠DBC=30°,∠DCB=90°-60°=30°,所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=120°,由正弦定理得,ABBCAB200400BC,cosABCcos303BCDC,sinBDCsinDBC400sin304003DC,C.sin1203故故选(2)设缉私船用th在D处追上走私船，如图，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，因为AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，所以由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2·cos120°＝6，所以BC＝，33336在△ABC中，由正弦定理，得所以sin∠ABC＝所以∠ABC＝45°，所以BC是东西方向.因为∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得所以sin∠BCD＝所以∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.ACBCsinABCsinBAC＝，AC232sinBAC.BC226＝＝BDCDsinBCDsinCBD＝，BDsinCBD10tsin1201CD2103t＝＝，【互动探究】试求本例(2)中缉私船最快追上走私船的时间.【解析】由本例(2)的解答知,在△DBC中,CD=10t,BD=10t,∠DBC=120°,BC=,∠BCD=30°,所