【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件选修4-42参数方程

第二节参数方程【知识梳理】1.曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的_________,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称_____.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0叫做_____方程.xft,ygt,参数方程参数普通2.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y－y0=tanα(x－x0)(α≠点斜式)_____________(t为参数)圆(x-a)2+(y-b)2=r2_____________(θ为参数)椭圆=1(ab0)___________(φ为参数)00xxtcos,yytsin2xarcos,ybrsin2222xyabxacos,ybsin【小题快练】1.(2014·北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上x1cosy2sin－，【解析】选B.由得所以(x+1)2+(y-2)2=1.曲线是以(-1,2)为圆心,1为半径的圆,所以对称中心为(-1,2),在直线y=-2x上.x1cos,y2sin,cosx1,siny2.2.(2015·佛山模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则直线l与圆C的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.由参数确定x2t,y14t2【解析】选C.将直线的参数方程(t为参数)化为普通方程，得2x-y+1=0.将圆C的极坐标方程ρ=2sinθ化为直角坐标方程，得x2+y2-2y=0，即x2+(y-)2=2，圆心到直线的距离为d=＜r=，所以直线l与圆C相交.x2t,y14t22221523．(2015·潮州模拟)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为曲线C:(θ为参数)，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为_________.(22,)4，x2cosy2sin－【解析】由点A的极坐标为得直角坐标为A(2,2)，曲线C:(θ为参数)的直角坐标方程为(x－2)2+(y+2)2=1，圆心(2，-2)与点A(2,2)的距离为4，所以点A在圆的外部，则圆C上的点B与点A距离的最大值为5.答案：5(22,),4x2cosy2sin－4.(2015·黄冈模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是则两曲线交点间的距离是_______.1xt,t1yt,tsin()13，【解析】将曲线C1的参数方程化为普通方程，得x2-y2=-4，将曲线C2的极坐标方程=1化为直角坐标方程，得y=-x+2，代入x2-y2=-4，得x2-2x=0，解得1xt,t1yttsin()333x0,x23,y2,y4,即两曲线交点的坐标分别为A(0,2),B(2,-4),所以两曲线交点间的距离是|AB|=答案：43222304243.3考点1直线的参数方程与应用【典例1】已知经过点P(-1，2)，倾斜角为的直线l与曲线ρ=3相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.【解题提示】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程参数的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算.4【规范解答】直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的直角坐标方程x2+y2=9，整理，得t2+t-4=0.设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1·t2=-4，所以|PA|·|PB|=|t1t2|=4.2x1t,22y2t22【互动探究】若本例条件不变，如何求|AB|?【解析】由题意可知，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=-,t1t2=-4,|AB|=|t1-t2|=221212tt4tt32.【规律方法】直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为l上任意一点,则直线l的参数方程为(t为参数).00xxtcos,yytsin(1)若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则(2)若线段M1M2的中点为M3,点M1,M2,M3对应的参数分别为t1,t2,t3,则t3=(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t20.201021212212112|MM||MM||tt|,MM|tt|tt4tt.－－12tt.2直线的参数方程中参数的几何意义已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为直线l上任意一点,如图.设e是直线l的单位方向向量,得e=(cosα,sinα).设=te,显然有(x-x0,y-y0)=(tcosα,tsinα),所以直线l的参数方程为(t为参数).由=te,得||=|te|=|t|,所以参数t的几何意义是有向线段的数量(长度+方向):0MM00xxtcos,yytsin0MM0MM0MM①当t0时,点M在点M0的上方;②当t=0时,点M与点M0重合;③当t0时,点M在点M0的下方.特别地,若直线l的倾斜角α=0时,直线l的参数方程为④当t0时,点M在点M0的右侧;⑤当t=0时,点M与点M0重合;⑥当t0时,点M在点M0的左侧.00xxt,yy【变式训练】(2015·冀州模拟)已知抛物线C:y2=4a(x+a)(a0),过原点O的直线l与C交于A,B两点.(1)求|OA||OB|的最小值.(2)求的值.11OAOB【解析】(1)设直线l的参数方程为(t为参数),与抛物线方程y2=4a(x+a)(a0)联立,得t2sin2θ-4atcosθ-4a2=0,所以t1+t2=,t1t2=得|OA||OB|=|t1t2|=≥4a2,所以|OA||OB|的最小值为4a2.(2)xtcosytsin24acossin224asin224asin12121212tt|tt|11OAOBtttt－22121221224att4tt1sin.4attasin【加固训练】(2015·随州模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数),求直线l的斜率.【解析】由直线l的参数方程(t为参数),得所以直线l的斜率为-.x13ty12t，－x13ty12t，－y12x13－－，－23考点2圆的参数方程与应用【典例2】(2015·龙岩模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆M的方程为(x-4)2+y2=1,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,且与直角坐标系取相同的单位长度,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(1)求直线l的直角坐标方程和圆M的参数方程.(2)求圆M上的点到直线l的距离的最小值.sin()61.2【解题提示】(1)由三角变换公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程,由三角代换公式求出圆的参数方程.(2)由圆的参数方程转化为三角函数求最小值.【规范解答】(1)由得所以即x+y-1=0,设所以所以直线l的直角坐标方程为x+y-1=0,圆M的参数方程为(φ为参数).1sin(),621(sincoscossin)662，131xy222，3x4cos,ysin，x4cos,ysin,3x4cos,ysin(2)设M(4+cosφ,sinφ),则点M到直线l的距离为d=所以当=-1即φ=-+2kπ(k∈Z)时,dmin=.所以圆M上的点到直线l的距离的最小值为.32sin()|4cos3sin1|6,22sin()6231212【规律方法】1.利用圆的参数方程求最值的技巧(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系.(2)求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题.2.辅助角公式在求最值中的应用辅助角公式asinθ+bcosθ=sin(θ+φ).其中sinφ=,cosφ=,或者tanφ=(a≠0),且角φ的终边经过点(a,b).借助其可求含参数的最值问题.22ab22bab22aabba【变式训练】(2015·新乡模拟)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.xt3y3t，【解析】(1)直线l的普通方程为x-y+3=0.曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=1.(2)设点P(2+cosθ,sinθ)(θ∈R),则d=所以d的取值范围是33|2cos()53||3(2cos)sin33|622－532532[,].22－【加固训练】(2014·惠州模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为:(θ为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:=0,求圆C截直线所得的弦长.x33cos,y13sincos()6【解析】圆C:(θ为参数)的普通方程为(x-)2+(y-1)2=9,表示以点(,1)为圆心,以3为半径的圆;将直线=0的方程化为直角坐标方程为x-y=0,圆心(,1)到直线x-y=0的距离d==1,故圆C截直线所得弦长为x33cos,y13sin33cos()633322|331|312223142.考点3椭圆的参数方程【典例3】已知曲线C的参数方程是(φ为参数,a0),直线l的参数方程是(t为参数),曲线C与直线l有一个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的普通方程.(2)若点A(ρ1,θ),在曲线C上,求的值.xacos,y3sinx3t,y1t2324B(,),C(,)332211OAOB21OC【解题提示】将直线与曲线的参数方程化为普通方程,利用三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式计算.【规范解答】(1)由直线l的参数方程(t为参数),得普通方程为x+y=2.又曲线C:(φ为参数,a0)的普通方程为=1,由于直线x+y=2与曲线的一个公共点在x轴上,得(2,0)在曲线上,得a2=4,所以曲线C的普通方程为=1.x3t,y1txacos,y3sin222xya322xy43(2)因为点A(ρ1,θ),在曲线上,即点A(ρ1cosθ,ρ1sinθ),依题意,得=1,得2324B(,),C(,)33223322B(cos()sin())3344C(cos()sin())33，，，，2211(cos)(sin)432221111cossin43，同理,得所以222211212cos()sin()4333，222311414cos()sin()4333，222222123111111OAOBOC222222124[coscos()cos()]433124[s