【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件热点专题突破系列(四)立体几何的综合问题

热点专题突破系列(四)立体几何的综合问题考点一平行、垂直关系的证明与体积的计算【考情分析】以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体,通过空间平行、垂直关系的论证命制,主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理,常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查,考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想,一般以解答题的形式出现,难度中等.【典例1】(2014·重庆高考改编)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=,N为AB上一点,且BN=.(1)证明:MN∥平面PAC.(2)证明:BC⊥平面POM.(3)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.31212【解题提示】(1)只需证明MN∥AC即可.(2)在平面POM内可以找到OM,PO与BC垂直,从而得出结论.(3)直接利用体积公式求解即可.【规范解答】(1)因为BM=BN=,所以所以MN∥AC.又MN平面PAC,AC平面PAC,所以MN∥平面PAC.12BMBN,BCBA(2)因为ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,则AO⊥OB.因为∠BAD=,故OB=AB·sin=1,又因为BM=,且∠OBM=,在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM36123221131()21cos.2234所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM,故OM⊥BC.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(3)由(2)得,OA=AB·cos∠OAB=2×设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.由△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连接AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABMcos3.63422112212()22cos.2234由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即得(舍去),即PO=此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM所以四棱锥P-ABMO的体积22321a3a,4433a,a223.2121211135331.22228PABMOABMO115335VSPO.338216四边形【规律方法】1.空间两直线位置关系的判定方法(1)对于平行直线可通过作辅助线,利用三角形或梯形中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理.(2)垂直关系可采用线面垂直的性质解决.2.空间线面的位置关系的判定方法(1)证明直线与平面平行,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行,解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质,或构造平行四边形,寻求比例关系确定两直线平行.(2)证明直线与平面垂直,主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形,寻求隐含条件.3.空间面面的位置关系的判定方法(1)证明面面平行,需要证明线面平行,要证明线面平行需证明线线平行,将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.(2)证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.4.计算几何体体积的关键及注意点计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,而不能直接用公式时,注意进行体积的转化.【变式训练】(2015·杭州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D为AB的中点,且CD⊥DA1.(1)求证:平面A1B1B⊥平面ABC.(2)求多面体DBC-A1B1C1的体积.【解析】(1)因为AC=BC,D为AB的中点,所以CD⊥AB,又CD⊥DA1,AB∩DA1=D,所以CD⊥平面A1B1B,又因为CD平面ABC,故平面A1B1B⊥平面ABC.(2)因为平面A1B1B⊥平面ABC,平面A1B1B∩平面ABC=AB,BB1⊥AB,BB1平面A1B1B,所以BB1⊥平面ABC,故AA1⊥平面ABC,因此=S△ABC·|AA1|-S△ADC·|AA1|=S△ABC·|AA1|-S△ABC·|AA1|=S△ABC·|AA1|=.111DBCABCV多面体1111ABCABCAADCVV棱柱棱锥13113256103【加固训练】(2013·江西高考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE⊥平面BB1C1C.(2)求点B1到平面EA1C1的距离.2【解析】(1)过点B作CD的垂线交CD于点F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在Rt△BFE中,BE=,在Rt△CFB中,BC=.在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,所以BE⊥BC,又由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1,又BB1∩BC=B,故BE⊥平面BB1C1C.236(2)在Rt△A1D1C1中，同理，则设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1-EA1C1的体积为所以点B1到平面EA1C1的距离为111111EABC1ABC1VAAS2.3△22111111ACADDC32.222221111ECECCC32AEAAADDE23.，11ACES35.△11ACE110VdS5d,5d2,d.35△从而10.5考点二平面图形折叠成空间几何体问题【考情分析】先将平面图形折叠成空间几何体,再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向,它很好地将平面图形拓展成空间图形,同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径,是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向.【典例2】(2015·中山模拟)如图1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC上,且CE=4.如图2所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面BCD.(2)若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.【解题提示】(1)由平面BCD⊥平面ACD,只需证明DE⊥DC即可.(2)先由平面BCD⊥平面ACD,求得B到平面ACD,即DEG的距离,再由体积公式求解.【规范解答】(1)在题图1中,因为AC=6,BC=3,∠ABC=90°,所以∠A=30°,∠ACB=60°.因为CD为∠ACB的平分线,所以∠BCD=∠ACD=30°,所以CD=2.因为CE=4,∠DCE=30°,由余弦定理可得cos30°=即,解得DE=2.则CD2+DE2=EC2,所以∠CDE=90°,DE⊥DC.3222CECDDE,2CECD22234(23)DE22423在题图2中,因为平面BCD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,DE平面ACD,且DE⊥DC,所以DE⊥平面BCD.(2)在题图2中,因为EF∥平面BDG,EF平面ABC,平面ABC∩平面BDG=BG,所以EF∥BG.因为点E在线段AC上,CE=4,点F是AB的中点,所以AE=EG=CG=2.作BH⊥CD于点H.因为平面BCD⊥平面ACD,所以BH⊥平面ACD.由已知可得所以三棱锥B-DEG的体积V=S△DEG·BH=BDBC333BH.DC223DEGACD111SSACCDsin303,332△△131333.322【规律方法】折叠问题的求解策略(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下,长度是不变量,而位置关系往往会发生变化.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.进而将其转化为立体几何的常规问题求解.解决折叠问题的关注点平面图形折叠成空间图形,主要抓住变与不变的量,所谓不变的量,即是指“未折坏”的元素,包括“未折坏”的边和角,一般优先标出未折坏的直角(从而观察是否存在线面垂直),然后标出其他特殊角,以及所有不变的线段.【变式训练】(2015·天津模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC中,G,F为边AC的三等分点,E,P分别是AB,BC边上的点,满足AE=CP=1,今将△BEP,△CFP分别沿EP,FP向上折起,使边BP与边CP所在的直线重合,B,C折后的对应点分别记为B1,C1.(1)求证:C1F∥平面B1GE.(2)求证:PF⊥平面B1EF.【证明】(1)取EP的中点D,连接FD,C1D.因为BC=3,CP=1,所以折起后C1为B1P的中点.所以在△B1EP中,DC1∥EB1.又因为AB=BC=AC=3,AE=CP=1,所以,所以EP=2且EP∥GF.因为G,F为AC的三等分点,所以GF=1.EPEBACAB又因为ED=EP=1,所以GF=ED,所以四边形GEDF为平行四边形.所以FD∥GE.又因为DC1∩FD=D,GE∩B1E=E,所以平面DFC1∥平面B1GE.又因为C1F平面DFC1,所以C1F∥平面B1GE.12(2)连接EF,B1F,由已知得∠EPF=60°,且FP=1,EP=2,由余弦定理,得EF2=12+22-2×1×2×cos60°=3,所以FP2+EF2=EP2,可得PF⊥EF.因为B1C1=PC1=1,C1F=1,得FC1=B1C1=PC1,所以△PB1F的中线C1F=PB1,可得△PB1F是直角三角形,即B1F⊥PF.因为EF∩B1F=F,EF,B1F平面B1EF,所以PF⊥平面B1EF.12【加固训练】(2013·湖北高考)如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E,F分别为棱AC,AD的中点.(1)求证:DC⊥平面ABC.(2)设CD=a,求三棱锥A-BFE的体积.【解析】(1)在图甲中因为AB=BD且∠A=45°,所以∠ADB=45°,∠ABD=90°,即AB⊥BD.在图乙中,因为平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD,所以AB⊥底面BDC,所以AB⊥CD.又∠DCB=90°,所以DC⊥BC,且AB∩BC=B,所以DC⊥平面ABC.(2)因为E,F分别为AC,AD的中点,所以EF∥CD,又由(1)知,DC⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC,所以VA-BFE=VF-AEB=S△AEB·FE在图甲中,因为∠ADC=105°,所以∠BDC=60°,∠DBC=30°,13由CD=a得BD=2a,BC=a,EF=CD=a,所以S△ABC=AB·BC=·2a·a=a2,所以S△AEB=所以3121212123323a,223ABFE1313Vaaa.32212考点三空间向量在立体几何中的应用【考情分析】在高考中主要考查通过建立恰当的空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算证明空间中的线、面的平行与垂直关系,计算空间角及空间距离,常与空间几何体的结构特征,空间线、面位置关系的判定定理与性质定理等知识综合,以解答题形式出现,难度中等.【典例3】(2015·南昌模拟)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=2,BC1=,CC1=,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC1B1,E,F分别为棱AB,CC1的中点.(1)求证:EF∥平面A1BC1.(2)若AC2为整数,且EF与平面ACC1A1夹角的正弦值为,求平面CAA1与平面AA1B夹角的余弦值.2223【解题提示】根据平面ABC⊥平面BCC1B1,选坐标原点建立空间直角坐标系,(1)求平面A1BC1的法向量n,证明n⊥即可.(2)分别求平