【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件86双曲线

第六节双曲线【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)双曲线的定义：①平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c0)的距离_____________为常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_____,两焦点间的距离叫做_____.之差的绝对值焦点焦距②集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0.(ⅰ)当_________时,M点的轨迹是双曲线;(ⅱ)当_________时,M点的轨迹是两条射线;(ⅲ)当_________时,M点不存在.2a|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|(2)双曲线的标准方程和几何性质：图形标准方程__________(a0,b0)__________(a0,b0)性质范围________________________对称性对称轴:_______对称中心:_____对称轴:_______对称中心:_____2222xy1ab2222yx1abx≥a或x≤-ay≤-a或y≥a坐标轴原点坐标轴原点性质顶点顶点坐标:A1_______,A2______顶点坐标:A1_______,A2______渐近线y=_____y=____离心率e=___,e∈________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=___;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=___;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c间的关系c2=_____(ca0,cb0)(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)bxaaxbca(1,+∞)2a2ba2+b22.必备结论教材提炼记一记(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e=____⇔双曲线的两条渐近线互相_____.(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系:当焦点在x轴上时,渐近线斜率为±,当焦点在y轴上时,渐近线斜率为±.(3)渐近线与离心率：=1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为=______.(4)若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|___c-a.2垂直baab2222xyabba2e1≥3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:定义法、待定系数法、点差法.(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想、方程思想.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(3)方程表示焦点在x轴上的双曲线.()22xy1(mn0)mn(4)双曲线方程的渐近线方程是即()2222xy(m0,n0,0)mn2222xy0mn，xy0.mn【解析】(1)错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.(2)错误.因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线.(3)错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m0,n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.(4)正确.因为(a0,b0)的渐近线方程为y=±x，即所以当λ0时，(m0,n0)的渐近线方程为即即同理当λ0时，仍成立，故结论正确.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2222xy1abba2222xy0ab，2222xy1mn2222xy0mn，2222xy0mn，xy0.mn2.教材改编链接教材练一练(1)(选修1-1P54A组T1改编)双曲线上的点P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是_______.22xy1169【解析】根据双曲线方程可知c==5.所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0).设P(x,y),由两点间距离公式:|PF2|==6,①所以点P在双曲线右支上,|PF1|=,因为|PF1|-|PF2|=2a=8,16922x5y22x5y所以=2a+6=14,所以(x+5)2+y2=196,②①②联立得x=8.代入原式可得y=±3.所以点P坐标为(8,±3).答案:(8,±3)22x5y333(2)(选修1-1P53T3改编)以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为.【解析】设要求的双曲线方程为(a0,b0),由椭圆得焦点为(±1,0),顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以双曲线标准方程为x2-=1.答案:x2-=122xy1432222xy1ab22xy1432y32y33.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·天津高考)已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()2222xy1ab－22222222xyxyA.1B.15202053x3y3x3yC.1D.12510010025－－－－【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,易知直线l过双曲线左焦点,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有=2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为ba22xy1.520－(2)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线(a＞0)的离心率为2，则a=()【解析】选D.由双曲线的离心率可得解得a=1.222xy1a365A.2B.C.D.1222a32a，(3)(2014·广东高考)若实数k满足0k9，则曲线与曲线的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等22xy1259k－－22xy125k9－－【解析】选A.因为0k9，所以曲线与曲线都表示焦点在x轴上的双曲线，且25≠25－k,9－k≠9，但a2+b2=34－k，故两双曲线的焦距相等.22xy1259k－－22xy125k9－－(4)(2014·山东高考)已知双曲线(a0,b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py(p0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为______.2222xy1ab【解析】由题意知抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为即（c,-b）,代入双曲线方程为得所以所以渐近线方程为y=±x.答案：y=±x22pcab2，p(c,)2，2222cb1ab，22c2a，22bc11,aa考点1双曲线的定义及其应用【典例1】(1)设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于()A.4B.8C.24D.482y2423(2)已知F1,F2为双曲线=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为()(3)已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.22xy54A.374B.374C.3725D.372522xy916－【解题提示】(1)由双曲线的定义及3|PF1|=4|PF2|可求出|PF1|,|PF2|的值.(2)|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,故要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值即可.(3)可想法求出|FP|+|FQ|,再求周长.【规范解答】(1)选C.双曲线的实轴长为2,焦距为|F1F2|=2×5=10.据题意和双曲线的定义知,2=|PF1|-|PF2|=|PF2|-|PF2|=|PF2|,所以|PF2|=6,|PF1|=8.所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|·|PF2|=×6×8=24.431312PFF1S212(2)选C.|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值,当A,P,F1三点共线时,取得最小值,则|AP|+|AF1|=|PF1|=,所以|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a=-2.37375(3)显然,点A为双曲线的右焦点,P,Q都在双曲线的右支上,|PQ|=16,由双曲线的定义得:|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,两式相加,|FP|+|FQ|-|PA|-|QA|=12,即|FP|+|FQ|-|PQ|=12,所以|FP|+|FQ|=28,所以△PQF的周长为|FP|+|FQ|+|PQ|=44.答案:44【易错警示】解答本题(3)易出现以下两点错误(1)不判断PQ的位置,造成思路受阻,无法进行下去.(2)对PQ位置判断错误,得出错误结论.【互动探究】若将本例(1)中“3|PF1|=4|PF2|”改为“PF1⊥PF2”,如何求解?【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则解之得mn=48.所以mn=24.12PFF1S22222mn100,mn2mn4,【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1||PF2|的联系.提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置.【变式训练】已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()【解析】选A.在△ABP中，由正弦定理知22xy1169sinAsinBsinP475A.B.C.D.7544sinAsinB||PB||PA||sinPAB2a84.2c105【加固训练】1.(2014·成都模拟)已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为()【解析】选C.由|PA|－|PB|＝3知P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线一支，因为2a＝3,2c＝4，所以a＝c＝2，所以|PA|min＝a＋c＝故选C.137A.B.C.D5222．32，72，2.双曲线(a0,b0)的焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲线的左支于A,B两点,且|AB|=m,则△ABF2的周长为.2222xy1ab－＝【解析】由⇒|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又|AF1|+|BF1|=|AB|=m,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.那么△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.答案:4a+2m2121|AFAF|2a,|BFBF|2a3.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.【解析】设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x0),因为PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x=-1,x+2=+1,所以|PF2|+|PF1|=2.答案:23333考点2双曲线的标准方程及性质知·考情双曲线的标准方程的求解以及双曲线的渐近线、离心率的求解是每年高考的一个热点,难度适中,且多以选择题或填空题的形式出现.明·角度命题角度1:求双曲线的标准方程【典例2】(2014·江西高考)过双曲线C:的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()2222xy1ab2222222