三次函数的图像性质和实根的分布问题初探

三次函数的图像性质和实根的分布问题一、三次函数的图像和基本性质设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c，导函数判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ0时记f'(x)=0的两根为x1和x2，且x1x2性质及图像如下表当a0时b2≤3acb23acf(x1)0且f(x2)0f(x1)f(x2)0函数单调递增，没有极值点函数有两个极值点，有三个零点函数有两个极值点，一个零点函数有两个极值点，一个零点当a0时b2≤3acb23acf(x1)0且f(x2)0f(x1)f(x2)0函数单调递减，没有极值点函数有两个极值点，有三个零点函数有两个极值点，一个零点函数有两个极值点，一个零点由上表可以推导出其他主要性质：1、对称中心为点))3(,3(abfab2、在R上依次有三个单调区间的充要条件是b2-3ac0.3、若b2-3ac≤0,则ax3+bx2+cx+d=0方程有且仅有一个实根4、三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个互不相同实根的充要条件是:|b3-9abc+27a2d|2(b2-3ac)acb3+b3二、三次函数根的分布例说例1、若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，在区间（m，n)有三个不等实数根求各项系数满足的充要条件。设y=f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ0时记y0xx0yy0xy0xx0yx0yx0yx0y0)(0)(0)(0)(0)(0)(30300)(0)(0)(0)(0)(0)(3030212212nfmfxfxfnfmfnabmacbanfmfxfxfnfmfnabmacba或f'(x)=0的两根为x1和x2，且x1x2则满足：例2、若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，在区间（m，n)有且仅有一个实数根(重根不计），求各项系数满足的充要条件。设y=f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ0时记f'(x)=0的两根为x1和x2，且x1x2则满足：0)()(0)()(03b0)()(032122nfmfxfxfacnfmfacb或练习1.（2000年春季高考题）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（）A.b∈（-∞，0）B.b∈（0，1）C.b∈（1，2）D.b∈（2，+∞）2、已知函数)(xf满足Cxxfxxf2332')(（其中32'f为)(xf在点32x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．