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第五章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转1．图形的轴对称．(1)通过具体实例认识轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．(2)能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形．(3)了解轴对称图形的概念：探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质．(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．2．图形的平移．(1)通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质．(2)能按要求作出简单平面图形平移后的图形．3．图形的旋转．(1)通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、两组对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．(2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．4．图形与坐标．(1)坐标与图形位置①结合实例进一步体会有序数对可以表示物体的位置．②理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标．③在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置．④对给定的正方形，会选择适当的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形．⑤在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2)坐标与图形运动①在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系．②在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系．③在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化．④在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．考点1轴对称图形与中心对称图形1．轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线为__________．对称轴180°对称中心2．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转________，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做____________．考点2变换的概念及性质1．图形的轴对称．(1)定义：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．(2)性质：①对应线段相等，对应角________；对称点的连线被对称轴____________；相等垂直平分②轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；③轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在___________．对称轴上2．图形的平移．(1)定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．(2)性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段________且________；相等平行②平移后，对应角________且对应角的两边分别平行、方向相同；相等③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．3．图形的旋转．(1)定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．(2)特征：在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都________；对应点到旋转中心的距离________．相等相等考点3坐标与图形的位置及运动1．图形的平移变换．向右向左向上向下在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形______(或______)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形______(或______)平移a个单位长度．2．图形关于坐标轴成对称变换．相等互为相反数在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标______，纵坐标____________；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标________________，纵坐标__________．互为相反数相等3．图形关于原点成中心对称．在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标______________，纵坐标____________．互为相反数互为相反数4．图形关于原点成位似变换．在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于________．k或－k1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()AABCD2．在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，对应点E′的坐标是()DA．(－2，1)B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4)D．(－2，1)或(2，－1)以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的123．如图5-1-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′＝(D)图5-1-1A．25°B．30°C．35°D．40°4．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图5-1-2，将正方形ABCD绕点D按顺时针方向旋转90°后，点B的坐标为_________．(4,0)图5-1-2轴对称图形、中心对称图形的识别1．(2014年江苏徐州)顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图5-1-3的图形，该图形()B图5-1-3A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形但并不是中心对称图形C．是中心对称图形但并不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形2．(2013年江苏盐城)图5-1-4(1)是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图5-1-4(2)中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有()图5-1-4A．4种B．5种C．6种D．7种解析：如图52.图52综上所述，一共有6种不同图案．名师点评：判断轴对称图形，关键看对称轴两旁的部分能够完全重合；判断中心对称图形，关键看图形绕某一点旋转180°后是否与原图形完全重合．答案：C轴对称及应用例题：(2013年江苏苏州)如图5-1-5，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，的最小值为()图5-1-53点C的坐标为12，0，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PCA.132B.312C.3＋192D．27解析：如图5-1-6，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过点D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小．图5-1-6∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD.∵B(3，3)，∴AB＝3，OA＝3，∠B＝60°.由勾股定理，得OB＝23.由三角形面积公式，得12×OA×AB＝12×OB×AM.∴AM＝32.∴AD＝2AM＝3.∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°.∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°.又∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°.AN＝12AD＝32.答案：B在Rt△DNA中，由勾股定理，得DN＝323.∵C12，0，∴CN＝3－12－32＝1.在Rt△DNC中，由勾股定理，得DC＝12＋3232＝312.即PA＋PC的最小值是312.【试题精选】3．(2013年湖南常德)如图5-1-7，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在D′)A处．若AB＝3，AD＝4，则ED＝(图5-1-7A．32B．3C．1D．43名师点评：解决折叠问题的关键：一是折痕两边的折叠部分全等；二是折叠的某点与所落位置之间的线段被折痕垂直平分．图形的平移与旋转4．(2014年江西南昌)如图5-1-8，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再把△A′B′C绕点A′逆时针旋转一定角度，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为()B图5-1-8A．4,30°B．2,60°C．1,30°D．3,60°5．(2013年浙江温州)如图5-1-9，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上．按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图5-1-9(1)中画出示意图；(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图5-1-9(2)中画出示意图．图5-1-9解：(1)如图53.图53(2)如图54.图54名师点评：(1)图形平移前后的对应线段相等，对应角相等，对应点连线的线段是平移的距离；(2)图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角．坐标与图形的运动例题：(2013年湖北荆门)在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别为O(0,0)，P(4,3)，将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为()A．(3,4)B．(－4,3)C．(－3,4)D．(4，－3)解析：点P的横坐标是4，纵坐标是3，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，点P对应点P′的横坐标绝对值等于点P的纵坐标，点P′的纵坐标等于点P的横坐标，因此答案是(－3,4)．答案：C【试题精选】6．(2013年山东泰安)在如图5-1-10所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为()图5-1-10A．(1.4，－1)B．(1.5,2)C．(1.6,1)D．(2.4,1)解析：由A(2,4)，A1(－2,1)知，是将△ABC左移4个单位，下移3个单位得到△A1B1C1.故P(2.4,2)平移后的对应点P1(2.4－4,2－3)，即(－1.6，－1)．由关于原点中心对称规律知，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2(1.6,1)．故选C.答案：C名师点评：图形平移的坐标变化规律是：在平面直角坐标系内，如果一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移b个单位长度．对称点的坐标特征是：关于x轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的两点，横、纵坐标都互为相反数．与变换有关的计算题，找准变换中的“变”与“不变”；借助变换与相关图形的性质进行分析与求解．