三角与向量知识点概述

高中数学辅导网三角函数、平面向量知识点概述河南汤阴一中高三数学组A、三角函数一、弧度制1、1弧度是指。2、弧度制下的弧长公式为l=，扇形的面积公式为S=;它们是如何推导的？3、弧度与角度的换算rad_____1_________1rad4、终边相同的角的集合各象限角的集合坐标轴上的角的集合角与角终边关于x轴对称，则；角与角终边关于y轴对称，则。二、三角函数线1、画出单位圆中四个象限角的正弦线、余弦线、正切线2、能够利用三角函数线解三角不等式（即求角的范围）例如：已知cos21,sin21,求的取值范围。3、求证：当为锐角时sintan所在象限一二三四2所在象限Sin+cos的范围Sin-cos的范围4、单位圆上的点的坐标可用表示为：。5、任意角的三角函数定义6、三角函数的定义域三、同角三角函数间的八个关系式平方关系商数关系导数关系高中数学辅导网四、“2k”（k）与的三角函数间的关系可以概括为：，其中的“奇、偶”是指__的奇偶性，符号是把看作时，2k（k）所在象限原名函数值的符号，变是指：原名正弦变为；原名余弦变为。五、三角函数的图象1、用五点法作)sin(xAy的图象，这五点的坐标为。2、(1)y=sinx定义域_____值域______增区间____________减区间________。(2)y=cosx定义域_____值域__________增区间___________减区间_________.(3)y=tanx定义域_________值域________增区间_____________(4)奇偶性：y=sinx_______y=cosx________y=tanx______3、y=Asin()0,0)(Ax振幅_____周期______频率_____相位_____初相_____4、三角函数图象写表达式时，一般先求A、，最后求，求时一般用5、图象的变换：写出y=sinx到y=2sin(2x-6)的两种不同顺序的变换。6、图象的对称：sinx、cosx,的对称中心、对称轴。(1)sinx的对称中心是：，对称轴是。(2)cosx的对称中心是：，对称轴是。六、三角函数的性质1、研究三角函数的性质一般需要考虑其____________________________等。2、求三角函数的周期、最值、单调区间、对称中心等要先把函数化为的形式。3、掌握几种三角函数最值求法（1）三角方法：先通过三角恒等变换，把函数等价转化为)sin(xAy+b型，然后根据三角函数的有界性，求出函数的最值。（2（2）代数方法：先通过变量代换转化为代数函数，再选用配方法、不等式法、判别式法、单调性法等求解。（3）解析法：将三角函数与坐标定义联系起来，应用解析几何的知识来求最值，这时，点线的距离公式、斜率公式、直线方程等都有了用武之地。（4）可化为二次函数的最值问题（5）利用均值定理。高中数学辅导网（6）换元法同时含有sinx+cosx、sinxcosx的最值七、三角函数的应用（换元法求值域）1、求y=x+21x的值域。2、已知x2+y2=a(a0),可设。3、已知x2+y2≤2，可设。4、已知x2-y2=a2，可设。八、两角和与差的三角函数1、回顾公式的推导过程2、公式的变形使用（1）降幂公式:cos2x=22cos1x,sin2x=.x2cos1.x2cos1.x2sin1.x2sin1.(2)两角和与差的正切公式可变形为。由此可得当4时，)tan1)(tan1(。若,,是公差为3的等差数列，则求tantantantantantan的值时可分别加1后再求值九、三角函数问题的基本思考方法1、角的变换（化特殊角，发现余角、补角关系、异角化同角，复角化单角），有时需要将表2+2，表示为2-2已知tanx=21,x+y=600则tan(x-y)=.8cos4+83cos4+85cos4+87cos4=.2、式的变换（切割化弦、异名化同名、异次化同次，变量代换，因式分解，配方法）tanx+cotx=,tanx-cotx=.3、常值代换：如cottan1,30sin212222tansec1,sincos1等等。十、三角形中的三角函数1、内角和定理A+B+C=的推论（1）sin(A+B)=,cos(A+B)=.sin2BA=.高中数学辅导网(2)A、B、C成等差数列，则B=。（3）tanA+tanB+tanC=。（4）锐角三角形中：A+B900,B+C900,A+C900同时成立，因此有sinAcosB………因此可得。又可得sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC(5)钝角三角形中，若A+B900sinAcosB,反之成立吗？2、正弦定理（1）正弦定理的内容是。（2）a、b、c为等差数列，则cos2BA=（3）abABsinAsinB（4）RtABC中，则C=900,a=csinA,b=.（5）正弦定理的应用（6）已知三角形的两角及任一边，求其它两边。已知三角形的两边及其中一边的对角，求另一边的对角。在这个问题中要注意可能出现无解、一解、两解的情况，要注意如何区别。列表如下：条件当当当图形4、余弦定理（1）余弦定理的内容是。它是如何推导的？（2）当C为直角时；当C为锐角时；当C为钝角时；（3）余弦定理的应用：已知三边，求三角。已知两边和夹角，求第三边。5、面积公式（1），（2），（3）。5、判断三角形形状的方法：将条件中的边角关系由正、余弦定理统一角、角或边与边的关系，再由三角公式变形或代数变形分解因式，判定形状。6、方位角：由指北的方向线作为0，顺时针旋转到目标方向线的水平角。高中数学辅导网方向角的值在0~360之间。B、平面向量与空间向量1、向量的有关概念向量的定义、向量的模、平行向量（共线向量）、相等向量、零向量、单位向量、相反向量。2、向量的表示方法（1）_______表示法：如ABa,等；（2）_______表示法：用一条有向线段表示向量；（3）_______表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点O在坐标原点，终点坐标为(x,y)，则(x,y)称为OA的坐标，记为OA=(x,y).2、向量的加法与减法（1）加法法则：_________、__________.满足的运算律：_______________________;（2）减法法则：_______________________.3、实数与向量的积实数与向量a的乘积是一个_______,它的长度和方向规定如下：（1）|a|=___________;（2）当0时，a与a_____,当0时，a与a____,当=0时，a与a____.（3）运算律：____________、_____________、_______________.4、（1）两个向量共线的充要条件：a∥b（b0）________;设a=（11,yx），b=（22,yx）（b0）则a∥b_____________;注：共线向量的充要条件常用于证明三点共线和两直线平行等问题。（2）两个向量垂直的充要条件：a⊥b___________;设a=（11,yx），b=（22,yx）则a⊥b_____________.5、平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_______________________________________;其中21,ee叫做表示这一平面内所有向量的______,当21,ee是两个互相的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础。特别的，若OA、OB不共线，OP=xOA+yOB则点P、A、B共线______________6、平面向量的坐标运算（1）若a=（11,yx），b=（22,yx），则ab=_________,（2）如果A（11,yx），B（22,yx）则AB=___________,高中数学辅导网（3）若a=（x,y），则a=________.注：（1）向量在平行移动时，起点和终点坐标会发生变化，但向量坐标保持不变。（2）利用向量的坐标表示使向量的运算代数化，从而为用数的方法解决形的问题提供了一种有效的手段，其关键是建立恰当的直角坐标系。利用向量的坐标运算可顺利的解决有关平行、共线、垂直等问题。7、平面向量的数量积（1）向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则把数量_____叫做a与b的数量积（或内积）记作ab，即ab=_____________,规定零向量与任一向量的数量积为_____,ab的几何意义：________________________.(2)向量数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则①ea=______=______,②a⊥b_______,③当a与b同向时，ab=_____;当a与b反向时，ab=_____;特别地，aa=____或|a|=______,④cos=_______,⑤|ab|_____|a||b|.(3)向量数量积的运算律_______________,________________,_______________.(4)平面向量数量积的坐标表示①若a=（11,yx），b=（22,yx），则ab=_________,②若a=（x,y），则|a|=________.③若向量a的起点坐标和终点坐标分别为（11,yx），（22,yx），则|a|=__________这就是平面内两点间的距离公式。注：（1）易错点：①;000a②0ba≠0,0ba或③caba≠cb④)()(cbacba即数量积运算不满足约分运算及结合律。（2）借助于两向量的数量积很容易解决长度，夹角，垂直等有关问题。8、线段的定比分点与图形的平移（1）定比分点：设21,PP是直线l上的两点，点P是l上不同于21,PP的任意一点，则存在一个实数，使_________，叫点P分有向线段21PP所成的比，P叫做_______.(2)设点P分有向线段21PP所成的比为，即21PPPP，并且1P（11,yx），2P（22,yx），P（x,y），则______________yx()，这就是有向线段的定比分点高中数学辅导网坐标公式，特别地，当P是21PP的中点时有______________yx，这是中点坐标公式。(3)平移：设F为坐标平面内的一个图形，将F上___________________