三角函数基础知识总结

1自主招生讲座1—基础知识1.定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。2.定义2角度制，把一周角360等分，每一等份为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360=2πrad。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r是圆的半径（相应的扇形面积为12SLr）。3.定义3象限角：角的终边落在象限内的角，如2,6kkZ为第一象限角。轴线角：角的终边落在坐标轴上的角，如终边落在x轴上的角的集合为：,kkZ4.定义4三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sin=ry,余弦函数cos=rx,正切函数tan=xy，余切函数cot=yx，正割函数sec=xr,余割函数csc=.yr（在单位圆中定义更加简单）（1）三角函数的正否：“一全二正弦，三切四余弦”（2）sin与cos大小关系如图：（3）sincosT的大小范围如图：5.定义5三角函数线：略6.定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=cot1,sin=csc1，cos=sec1；商数关系：tan=sincoscot,cossin；乘积关系：tan×cos=sin,cot×sin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2；若*sincos1(,2)nnnNn，则为轴线角。7.定理2诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;（Ⅳ）sin2=cosα,cos2=sinα,tan2=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。12T01T10T21T10T01T0Tsincossincossincos28.三角函数的图像：略（留意cot,sec,cscxxx的图像）9.正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为2.奇函数.有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值1，当且仅当x=3k-2时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.10.余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点0,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.11.正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+2)在开区间(kπ-2,kπ+2)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（2k，0）均为其对称中心。这里k∈Z.12.cscyx的性质：单调区间：增区间（2,22kk），（32,22kk），减区间（2,22kk），（2,22kk）；最小正周期为2π，奇函数，对称轴为2xk，对称中心为(,0)k，值域为(,1][1,)。这里k∈Z.13.secyx的性质：单调区间：增区间（2,22kk），（2,22kk），减区间（2,22kk），（2,22kk）；最小正周期为2π，偶函数，对称轴为xk，对称中心为(,0)2k，值域为(,1][1,)。这里k∈Z.14.cotyx的性质：减区间为（,(1)kk）；最小正周期为π，奇函数，对称中心为(,0)2k，值域为R。这里k∈Z.15.平移与伸缩变换：（1）先平移后伸缩；（2）先伸缩后平移。图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。316.两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=(tantan)(1tantan)（注意其的变形形式）17.和差化积与积化和差公式:（重要）sinα+sinβ=2sin2cos2,sinα-sinβ=2sin2cos2,cosα+cosβ=2cos2cos2,cosα-cosβ=-2sin2sin2,sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-21[cos(α+β)-cos(α-β)].18.倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=.)tan1(tan2219.三倍角公式：3sin33sin4sin=4sinsin()sin()333cos34cos3cos4coscos()cos()33323tantantan3tantan()tan()13tan3320.半角公式:sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(,tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin21.万能公式:2tan12tan2sin2,2tan12tan1cos22,.2tan12tan2tan222.辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=22bab,cosβ=22baa，对任意的角α.asinα+bcosα=)(22basin(α+β).23.正弦定理：在任意△ABC中有RCcBbAa2sinsinsin，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。24.余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C4的对边。25.在ABC中，下列公式成立：（1）sinsinsin4coscoscos222ABCABC（2）coscoscos14sinsinsin222ABCABC（3）tantantantanAtanBCAtanBC（4）222sinsinsin2(1coscoscos)ABCABC（4）cotcotcotcotcotcot1ABBCCA（5）cotcotcotcotcotcot222222ABCABC（6）tantantantantantan1222222ABBCCA26.函数y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.27.若2,0x，则sinxxtanx.28.三角与复数（1）复数的4种形式：(,)(cossin)iabiabrire（r是复数的模）（2）11221212(cossin)(cossin)cos()sin()iii（3）11221212(cossin)(cossin)cos()sin()iii（4）隶莫弗公式：复数(cossin)Zri的n次方(cossin)nnZrnin（5）复数(cossin)Zri的n次方根为22(cossin)nkkrinn（6）方程(cossin)nxri的解为0121,,,,n，其中22(cossin)nkkrinn