三角函数求值问题基本解题方法

1三角函数求值问题基本解题方法三角函数的求值问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性．１凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答．例１求tan204sin20的值．解析原式sin202sin40sin202sin(6020)cos20cos20sin202(sin60cos20cos60sin20)3cos20．评注三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin40，或者化为sin(3010)2sin(3010)，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２降幂法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22sincos1，或降幂公式221cos21cos2sin,cos22等借助降幂策略解答．例２若2coscos1，求26sinsin的值．解析由2coscos1，得15cos2，15cos2（舍去）．由2coscos1，又可得22cos1cossin，则263sinsincoscos，又由2coscos1，得2cos1cos，故322coscoscos(1cos)cos(2cos)2coscos3cos1，代值可得26355sinsin2．评注若求出cos的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３配对法根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．2例３已知(0,)2x，且222coscos2cos31xxx，求x的值．解析设222coscos2cos3mxxx，令222sinsin2sin3nxxx，则3mn，cos2cos4cos6mnxxx，其中，2cos62cos31xx，cos2cos4cos(3)cos(3)2coscos3xxxxxxxx，2cos3(coscos3)1mnxxx，又coscos3cos(2)cos(2)2coscos2xxxxxxxx，故4coscos2cos31mnxxx，故可解得1coscos2cos3(22)0(1)4xxxmm．则cos0x，或cos20x，或cos30x，又(0,)2x，则6x或4x．评注三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sincos1等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答．４换元法很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例４求sin75cos453cos15（）（）-（）的值．解析令15，则原式sin(60)cos(30)3cos(sincos60cossin60)(coscos30sinsin30)3cos0．评注教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５方程法根据已知构造所求量的方程解答．例５若33cossin1xx，试求sinx的值．解析令cossinxxt，则21cossin(1)2xxt，[2,2]t．由已知，有2221(cossin)(cossincossin)(1)12txxxxxxt，即3232(1)(2)0tttt，得1t，或2t（舍去）．即cossin1xx，又22sincos1xx，整理可得2sinsin0xx，解3得sin0x或sin1x．评注将已知转化为关于sinx的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n个需要确定的未知数，则只要构造n个方程解答即可．６讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例６已知ABC!中，54sin,cos135AB，求cosC．解析由5sin13A，得12cos13A．当12cos13A时，因为,AB是ABC!的内角，需要满足0AB，有0AB，而余弦函数在区间(0,)是减函数，得coscos()cosABB，但124coscos135AB，故此情形不合题意．可以验证12cos13A符合题意，故33coscos()sinsincoscos65CABABAB．评注分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例７已知sinsinsin0，coscoscos0，求cos()的值．解析有sinsinsin，coscoscos，两式两边平方后对应相加，可得2222(sinsin2sinsin)(coscos2coscos)22(sin)(cos)1，即1cos()2．评注学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．８猜想法根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例８已知13sincos2，且为第二象限角，则sin．解析由sin0,cos0及222213sincos1,()()122，可得1sin2．4评注实际上，将13sincos2与22sincos1联立所得二元二次方程组只有两组解，即13sin,cos22或13cos,sin22，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９图象法根据已知条件，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例９已知函数()sin1(1)fxAxA的图象与直线yA在x轴右侧的与x轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A的值．解析如右图，设三个交点的坐标为(,)BbA，(,)CcA，(,)DdA，由三角函数图象的对称性，则有22bc，3232cd，有bc，3dc，又222()(3)34cbdcccc，解得34c．故函数图象经过3(,)4A，代入可得22A．评注数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０等比性质法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１０求证2(cossin)cossin1sincos1sin1cos．解析若cos0（或sin0），因为sin1(cos1),或，故sin1，或cos1，验证可知等式成立．若cos0，则由2cos(1sin)(1sin)，2sin(1cos)(1cos)及比例性质acacbdbd，可得cos1sin1sincos1sincos1sincos．sin1cos1sincos1cossin1sincos，代入等式左边可知所证成立．评注本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin1costan21cossin，按照比例性质，立得OxDCByAy2x51cossintan21cossin．